学而不思则罔，思而不学则殆——浅谈在解题教学中的解后反思问题

学而不思则罔，思而不学则殆——浅谈在解题教学中的解后反思问题

王泽兴

王泽兴浙江省瑞安市第八中学325213

摘要：解题是数学的重要方面，是数学学习的永恒主题，是广大教师和学生十分关心的数学的一个方面。本文将在解题教学中，从纠错，简化解题过程，观察问题的本质，一题多解，多题一解等四个方面对解题后进行反思，阐述解数学题后反思的作用及意义。

关键词：反思解题解题教学

在数学教学中解题是重中之重的一个环节，特别是现在有高考的压力下，显得尤为突出。波利亚将解题分为四个步骤：弄清问题（UNDERSTANDINGTHEPROBLEM），拟定计划（DEVISINGAPLAN），实现计划（CARRYINGOUTTHEPLAN），回顾（LOOKTNGRACK）。在应试教育下，学生只注重结果，不注重过程。对回顾这环节就比较少地关注。他们能求得一个结果，就已经沾沾自喜了，哪还顾得上反思。殊不知，解答中存在问题，往往会入宝山而空返。

反思是指主动以严肃的态度持续不断地、反复深入地对已有的结论、认识和观念，以及它们的形成过程进行周密、持续的再思考，从而深化对问题的理解，完善思维过程，促进知识的同化和迁移，并进而产生新的发现。高中新课程标准强调反思“有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”。本文将从四个方面，阐述解数学题后的反思的作用。

一、反思纠错

解题中往往受思维定势或粗心大意等因素的影响，导致解答不正确。因此在解题后需要对解题的正确性进行反思。

第一，教师要引导学生复查求解过程和结果有无错误，指出容易出错的地方，促使学生养成做题后检查的好习惯。

第二，学生做题容易发生以偏概全或者漏解的错误，在解题教学中要引导学生反思解答是否全面，有没有漏解现象。

第三，学生在求出结果后，就以为解题结束，不再去推敲求得的结果是否与题设吻合，这是学生解题失误的常见原因之一。教师应在解题教学中恰当引导学生进行反思。

案例1：求过点(0，2)的直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点。

师：请同学们独立思考后再回答。

生1：（错解）设所求直线y=kx+2，由y=kx+2，且y2=4x.得k2x2+(4k-4)x+4=0。

令Δ=(4k-4)2-16k2=0，解得k=12，故所求直线方程为y=12x+2。

师：请作出图象分析一样。

生2：还有一条直线y=0

师：引导学生反思思路的形成过程，剖析错误的原因有三个：

（1）所求直线的斜率一定存在；

（2）忽视了“k=0”的情况；

（3）混淆了“相切”与“仅有一个公共点”这两个不同的概念。

点评：通过反思，学生不仅找出了自己思维过程中的不足之处，完善了解题过程，同时培养了他们思维的严密性和批判性，提升了学生的思维监控能力。

二、反思简化

学生经常会出现繁琐、冗长的运算或兜圈子的过程，究其原因，主要是缺乏反思的意思，套用公式，机械地进行运算。因此，如何减少计算量，精简步骤，做到简洁、精炼，培养学生的反思意识，解好题之后看能否一眼看出结果，这是数学教学中一个不可忽视的问题。

生3：会推导出4=9的错误结论！故的值ax+by取不到。

师：为什么会发生这样的错误?

（通过讨论辨析，大家领悟到:两次运用基本不等式求最值，必须满足两次取等号的条件要同时成立，而两次取等号的条件太苛刻，所以我们必须尽量避免两次使用基本不等式。）

师:能否从上述的错误的解法中获得启示，从而得到正确解法?

通过引导学生从反思错误，拓宽解题思路，最后得出了柯西不等式的一般形式，使学生经历了一次由反思错误，到创造发现的数学探索过程。学生所学的数学知识得以巩固，解题技能得到训练，数学思想方法得以有效地渗透，从而培养了思维的敏捷性，提高了探究能力。

四、反思一题多解，多题一解

数学知识是有机联系的，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手，如释重负。应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，使自己的解题能力更胜一筹。

一题多解,每一种解法可能用到不同章节的知识,这样一来可以复习相关知识,掌握不同解法技巧,同时每一种解法又能解很多道题,然后比较众多解法中，对这一道题哪一种最简捷,最合理?把本题的每一种解法和结论进一步推广,同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用。善于总结,掌握规律,探求共性,再由共性指导我们去解决碰到的这类问题,便会迎刃而解,这对提高解题能力尤其重要。

数学学习中,学生通过做大量的练习来达到提高数学水平的预设,但结果往往是经验零散,效率低下,简单、重复的训练模式影响了数学学习能力的提高。如何让学生走出这种困境?教学实践表明:引导学生题后反思,能促使他们从新的角度、多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考,在不断地提出问题又不断地解决问题的过程中,使学生对数学概念、定理、方法等各个方面知识从感性认识上升到理性认识。

总之，在平时的解题教学中，教师应有意识引导学生将解题后反思作为一种习惯，认识到反思是解题中不可缺少的步骤。只有摒弃原来解题后不反思的不良习惯，才能从题海中解脱出来，才能以不变应万变，才能使自己的思维达到更高的层次，才能提高学习效率。

参考文献

[1][美]G·波利亚著阎育苏译《怎样解题》.科学出版社，1982年。

[2]涂荣豹《数学解题学习中的元认知》.数学教育学报，第11卷，第4期，2002，11。

[3]秦卫东母建军《如何引导学生解题后多思善想》.数学教学，2004，9。