由一道习题展开的探究

由一道习题展开的探究

陈传勇

江苏高邮市三垛中学陈传勇

椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成．运用椭圆与圆之间的这种关系，你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗？

通过师生对上道习题的共同研究，同学们认识到椭圆、双曲线、抛物线都可以看作是圆按照某种方式演化的结果．这时教者不失时机的引导他们：既是这样，那么圆的弦和切线的诸多性质，例如：（1）圆的弦的中点与圆心的连线与该弦互相垂直；（2）过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为xx0+yy0=r2；（3）构成圆周角是直角的两条弦的斜率之积为-1，即设P，A，B是圆上的三点，如果，则A、O、B三点共线．反过来，如果A、O、B三点共线，则kpa.kpb=-1等．通过类比迁移到圆锥曲线，又会得到什么样的结论呢？上述问题问得新奇，问题的结论应该是肯定的，而课本中又无解释，立即引起学生一探其究的强烈欲望．经过各小组充分讨论，汇总为以下几个问题：

问题1椭圆（a>b>0）的弦AB垂直于椭圆的一条对称轴时，则弦中点M与椭圆中心O的连线OM⊥AB，若不然则它们的斜率有kAB.KOM=?

问题2双曲线（a>0，b>0）的弦AB垂直于双曲线的一条对称轴时，则弦中点M与双曲线中心O的连线OM⊥AB，若不然则它们的斜率有KAB.KOM=?

问题3过椭圆上的一点T（X0,Y0）（x0≠±a）的切线L的方程？

问题4过双曲线上的一点T（X0,Y0）（x0≠±a）的切线的方程？

问题5对椭圆，设A、B是椭圆在x轴上的两个顶点（椭圆的一条特殊的直径），P(X0,Y0)中椭圆上异于A，B的任一点，则kpa.kpb=？对双曲线，结论又如何？

带着这几个问题，师生共同探究：

命题1：是椭圆////的任一弦线（与坐标轴平行的弦除外，以下同略）的斜率与中心和弦中点连线斜率之积．

[略证]设直线l交椭圆两点为A（x1,y1），B（x2,y2），AB中点为G，则G（）

，由A，B在椭圆上可得：

显然，当直线l与椭圆相切时，G就成为切点，故有：

推论1：是椭圆/的任一切线斜率与中心和切点连线斜率之积．

命题2：是双曲线\的任一弦线斜率与中心和弦中点连线斜率之积．

证明原理同命题1（从略），同样，当弦线成为切线时，其中点G就为切点，故仍有：

推论2：是双曲线的任一切线斜率与中心和切点连线斜率之积．

命题3过椭圆上的点T（x0y0）的切线l的方程．

命题4过双曲线上的点T（xoyo）（非顶点外任一点）的切线l的方程．（推导从略）

命题5：设，为椭圆上的三点，其中O为椭圆的中心，如果定义AB是椭圆的一条直径（A、O、B三点共线），则，反过来，如果，则A、O、B三点共线（AB是椭圆的一条直径）．

[证明]：设，为椭圆上的三点，因为AB过中心O，所以x2=-x1,y2=-y1，即B点坐标为B(-x1,-y1)．

反之，设p(x0,yo)A(x1,y1)B(x2,y2)，为椭圆上的三点，kpa.kpb存在且

则，

由已知

所以

又与（*）式比较得：

化简得：

故三点p(x0,y0)A(-x1,-y1)B(x2,y2)，共线l，又因为A'(-X1,-Y1)在椭圆上，所以点A'(-x1,-y1)与B(x2,y2)重合，显然A(x1,y1)与A'(-x1,-y1)关于原点对称，故弦AB过中心O，即AB为椭圆的一条直径．

类似可证，对于双曲线，也有类似的性质：

命题6：设，为双曲线上的三点，其中O为双曲线的中心，如果定义AB是双曲线的一条直径（A、O、B三点共线），则；反过来，如果，则A、O、B三点共线（AB是双曲线的一条直径）（证明同上略）

教学启示：

1．这一堂探究课通过由圆的性质类比迁移到圆锥曲线，得到了许多有用的结论，学生既扩大了知识面，又增强了学习数学的兴趣，得到了数学美的熏陶．它以课堂为起点，又把课堂向外延伸、扩展；它以教材为基础，又从教材中走出来，使学生视野更开阔，使学生学会了如何在其他情境中也能迁移和利用教材中已有的知识．

2．从教学策略的视角看，新课程强调把教学策略建立在学生身上，更为关注学生“怎样才能知道”，教学方法上提倡学生借助问题研究，通过探究促进学生对知识的理解运用；通过探究“让学生自己学会并进而会学”，促进学生更好地发展．教师要善于挖掘和凭借学生的知识经验来展开教学，引导、启发学生依据自己知识经验的逻辑性，提出数学问题，使数学学习真正成为学生自觉的兴趣和需要．