函数的定义域求法

函数的定义域求法

廉庚

西北工业大学启迪中学廉庚

20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学课程。克莱因提出了以函数概念和思想统一数学教育的重要思想。他认为：“函数概念应该成为数学教育的灵魂，以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它的周围，进行充分的综合。”可见函数在中学数学教学中的重要性。而函数的定义域值域对应法则称为函数的三要素，其中定义域为函数的灵魂。因而定义域的求法在函数教学中占有很重要的地位。

设A，B是两个非空数集，如果按照某个对应关系f，对集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y＝f(x)，x∈A。在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．

一已知函数解析式，求函数的定义域

求函数定义域常见结论：

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次根式的被开方数不小于零；

(3)对数函数的真数必须大于零；

(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；

(5)正切函数y＝tanx，x≠kπ＋π2(k∈Z)；

(6)零次幂的底数不能为零；

例1函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()

A．(－3,0]B．(－3,1]

C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]

解析(1)由题意得1－2x≥0，x＋3＞0，解得－3＜x≤0.

所以函数f(x)的定义域为(－3,0]．

思维升华求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．

二实际问题

实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．

例2：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

故函数关系式为：．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：

三抽象函数的定义域

例3若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f?2x?x－1的定义域是________．

解析：由0≤2x≤2，得0≤x≤1，

又x－1≠0，即x≠1，

所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)．

引申探究

本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f?2x?x－1的定义域为________________．

答案[12，1)∪(1，32]

解析由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]，

得函数y＝f(x)的定义域为[1,3]，

令1≤2x≤3，x－1≠0，得12≤x≤32且x≠1，

∴g(x)的定义域为[12，1)∪(1，32]．

思维升华：求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．

四已知函数的定义域求参数范围

例4：(1)若函数的定义域为R，则a的取值范围为________．

(2)若函数y＝ax＋1ax2＋2ax＋3的定义域为R，则实数a的取值范围是________．

答案(1)[－1,0](2)[0,3)

解析(1)因为函数f(x)的定义域为R，

所以对x∈R恒成立，

即x2＋2ax－a≥0恒成立，

因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.

(2)因为函数y＝ax＋1ax2＋2ax＋3的定义域为R，

所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，

即函数y＝ax2＋2ax＋3的图像与x轴无交点．

当a＝0时，函数y＝3的图像与x轴无交点；

当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4?3a<0，解得0<a<3.

综上所述，a的取值范围是[0,3)．

思维升华

已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．

练习（1）已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()

A．(－1,1)B．(－1，－12)

C．(－1,0)D．(12，1)

(2)若函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是()

A．(0，34]B．(0，34)C．[0，34]D．[0，34)

答案(1)B(2)D

解析(1)∵函数f(x)的定义域为(－1,0)，

∴－1<2x＋1<0，解得－1<x<－12.

(2)要使函数的定义域为R，

则mx2＋4mx＋3≠0恒成立．

①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；

②当m≠0时，要使不等式恒成立，

需m>0，Δ＝?4m?2－4×m×3<0，

即m>0，m?4m－3?<0或m<0，Δ<0，即m<0，m?4m－3?<0.

解得0<m<34.由①②得0≤m＜34，故选D.