南京技师学院基础部 210023
摘要：近几年社会内卷现象日益严重，随着各类与高数有关考试考试难度变大，定积分的证明也是这几类考试中“常客”此类题目立足于高数基础而又构思巧妙关联性强大，往往得分不甚理想。笔者试图找到一类这种问题证明的通法，使得这类问题从本质上得以顺利解决，这类问题往往依赖于两个基本的定积分定理。
定理一：设
为任意固定一点，则有如下结论：若
在
上可积则变上限积分
是
上的连续函数
定理二：若
在
上连续则变上限积分
是
上的可导函数，且
由上述定理不难发现这类型的证明立意多半围绕利用变上限积分表示原函数即大体先设出
问题大抵可以解决。
例1：
设区间
上
非负连续并且
，则
分析：可设
，则
且
，
则
两边取定积分
（
）
方法的改进：若改设
，
，两边对
积分方法同上。
例2：
设函数
在区间
上非负连续，证明：
，则
证明：令
，两边对区间
上积分得
，
结论：利用改变上限积分方法证明定积分不等式，只需抓住原函数求导后与被积函数的数量关系即可。
参考书籍：1.《微积分》 国防工业出版社 刘景麟等编
2。《高等数学》下册 同济大学出版社
3 《微积分经典证明500例》 知识出版社 徐兵著
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