线性规划单纯形法的一种形象化新讲法

线性规划应用日益广泛。高职高专职业院校的许多专业都将这一运筹学基本内容纳入教学计划。可是线性规划是一种数学方法，涉及高维空间。这些专业的本科生、大专生，即便学过线性代数，往往仍比较生疏，不能灵活运用线性代数知识领会线性规划内容。他们觉得线性规划理论抽象难懂。部分学生乃至失去学习信心。另一方面，许多教材把线性规划安排在线性代数后面，还有作为线性代数应用举例的用意，若前后呼应不好，这一安排也将落空。
笔者等应邀为高职高专院校编写线性规划新教材，在教材中如何体现从此类学生数学基础的现状出发？如何形象化的讲解线性规划原理？如何与他们学过的线性代数呼应？如何跟着时代步伐，更新教材？——这些问题就提到笔者的面前。
针对高职高专院校学生的情况，笔者提出“夯实理论基础，抓好建模、上机两个实际本领”。在“夯实理论基础”方面，主要是根据经济、管理业务需要，针对学生实际的数学基础，加强与他们学过的线性代数的联系、在形象化的讲解上下大力气。追求概念正确、形象生动、手段先进。力争讲好线性规划的理论部分。
笔者的主要思路与措施如下：
1.用“自由变量改称非基变量”的提法，破除“基”的神秘感。
目前线性规划教材的用语是跟着运筹学的几本大部头著作走的。而权威著作的用语，一方面受早年开创性论文词汇的影响，有些术语今已改译；另方面权威著作比较深奥，假设读者对于线性代数中的相关基础理论知识均已熟练掌握。但是实际上职业院校的运筹学教材大多只讲到线性方程组的求解，往往未将上述基础理论全部列入大纲，个别概念即便提到，顶多也是草草带过。这就造成在职业院校的运筹学的很多教材中，线性规划的许多术语学生感到生疏、抽象，或与以前学过的线性代数对不上号。
许多线性规划教材一开始就另起炉灶，用学生不熟悉的术语下“基”的定义，举例又很简略。学生用不上刚学的线性代数，以致对“基”的概念懵懂，云遮雾罩，往往全凭死记，也就更谈不上理解“换基”等等内容。
笔者为避免使职业院校的学生感到突兀，从他们熟悉的线性方程组求解知识入手，指出约束方程的增广矩阵化成行最简形矩阵后所得同解方程和相应的通解，实质上就是“用自由变量表达非自由变量”。按线性规划的术语，称作“用非基变量表达基变量”。不过是把“自由变量”改称“非基变量”；把“非自由变量”改称“基变量”罢了。再由“基变量”引入“基”的概念，由此破除“基”的神秘感。再利用他们会的通过“行初等变换”，在增广矩阵系数矩阵中化出单位阵的知识，讲“基”的性质等内容。这样，学生就会很容易理解。
学生容易知道：写线性方程组的通解时，最易手到拈来的是“全部自由变量皆取零值的特解”，这个“特解”在线性规划里叫作“全部非基变量皆取零值”。并指出这个特解在线性规划里更重要，特意命名“基本解”。若“基本解”还符合非负条件，就成为“基本可行解” （Basic feasible solution），它与图解法中至关重要的可行解域的顶点有对应关系。这样引入新概念，学生感到轻松自然。连差生也能顺畅的由上章知识过渡到本章的新概念。
2.用二维图形显示“基本可行解”与可行解域顶点的对应关系。
因学时限制。职业院校的运筹学的教材不作证明，仅介绍“基本可行解”与可行解域顶点的对应关系结论。老教材一笔带过。学生印象不深。笔者加写一个二维例图让学生验看，增添感性认识。还把该例的对应关系，包括决策变量与张弛变量的值等，详细列出表格，供后面讲“换基”时查验。虽然费些笔墨，因事关单纯形法只到各个顶点搜寻最优解的基本思路，还是值得的。
3.在二维图上验看可行解域顶点上确实“全部非基变量等于零”。
在以往教学中，常有学生对全部非基变量在每个可行解域的顶点都取零值感到疑惑。笔者除了指出代数上的“基?本可行解”与几何上的可行解域顶点有对应关系外，还从几何角度在二维图上说明该例中各个非基变量等于零的几何意义：在坐标轴线上的顶点，它的另一个坐标的值为零，其含义为非负条件；在其他边线上的顶点，约束方程的张弛变量为零，表明至此已踩该约束条件的边线。例如，二维图解法中，在表示不等式约束x1+x2≤6的边线上，由它标准化所得的等式约束x1+x2+x3=6中的张弛变量x3为零。以此帮助学生接受高维空间也有类似规律的结论。
4.对照顶点表及图象导出“换基”的感性认识。
在从代数学角度讲“换基”的过程中，笔者还让学生观察上述可行解域顶点与“基本可行解”对照表中顶点间各变量值的变化，结合“非基变量必取零值”，自己总结得出“换基”的规律。学生感到生动明白。
5.用动画概括单纯形法的思路。
在讲完单纯形法的思路后，笔者放映一个二变量线性规划题求最优解的动画，以动态形象，直观的效果巩固学习成果。
6.与时俱进，裁减笔算法的辅助内容，开展机算。
实际工作中遇到的线性规划问题，必然变量很多（往往十个以上）且有效数字长，计算量太大。往届学生面对实际问题，凭笔算解不出来，只能望洋兴叹。身处计算机时代，而因袭几十年前的老教法，只教笔算内容，或虽点到某处刊有源程序，却不上机，这是国内经济管理类专业线性规划教学中相当普遍的现状。为使学生真正具备解决实际问题的能力，笔者痛感必须掌握一种软件。有所失才能有所得，为挤出时间上机，必须割舍一些原有内容。

一般教材在讲完单纯形法的表上求解后，还要讲一种求初始基本可行解的方法，一般是“辅助规划法”。笔者考虑这部分与单纯形法主干内容的关系，相对而言小些，只好割爱。况且实际工作中，用计算机解题，不需要提供初始可行解。即便偶遇简易笔算场合，由于新讲稿中加强了与上章的联系，真正看懂新教材的学生，从引入基变量概念的例题中，也会悟出对增广矩阵作行初等变换，搜索出一个基本可行解，绘出首张单纯形表，供表上叠代求解用。所以删去这部分内容影响不算太大。
7.注意语言的准确性，防止一字之差，引起歧义。
讲课中不能因为强调形象有趣而忽视科学性。在职业院校的运筹学的课堂上，虽无理工科那么多证明，同样要在关键地方，字斟句酌，锤炼用语。在线性规划的教材中就有若干常见的语病。例如个别书说“基的个数为组合数C ”（其中m为标准化后的约束方程数，n为变量数，且R(A)=m）。这句话就漏掉“至多”二字，因为有的m阶方阵的行列式可能为零，因而不能作基。
参考文献：
[1]阎章杭，等.高等数学与经济数学[M].北京:化学工业出版社,2007.
[2]阎章杭等.高等数学与经济数学[M].北京:化学工业出版社,2003.
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（作者单位：郑州师范学院）