利用组合数学计算三阶数字魔方变化量

利用组合数学计算三阶数字魔方变化量

翟婧竹

关键词：排列组合、魔方、三阶数字魔方。

一、引言

魔方是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在1974年发明的，同中国的“华容道”和法国的“独立钻石”一同被誉为世界三大不可思议的游戏，但它的历史最短，至今才40年。

三阶魔方是一个三阶立方体，由26个小方块和一个三维十字连接轴组成。其中包含6个处于面中心无法移动的中心块，12个位于棱上的棱块和8个位于角上的角块。它每个面纵横都可分为顶、中、底三层，每层都可自由转动，通过层的转动改变小方块在立方体上的位置，各部分之间存在着制约关系，没有两个小块是完全相同的，角块与角块之间、棱块与棱块之间可互相交换，中心块之间不能移动交换。魔方的六个面每面有一种颜色，现在主流的魔方配色为白对黄，蓝对绿，红对橙。我们将这由六种颜色组成的魔方称之为普通魔方。

此外，有的魔方六个面的每个小块上由“一”、“I”、“壹”等六种一至九不同书写形式数字组成的数字魔方；还有的由条筒万中发白等字组成的麻将魔方；还有花仙子、KITTY猫组成的图案魔方。由于还原方法大同小异，我们将这些魔方都称之为数字魔方。

下面左图为一个普通魔方，右图则是包括麻将牌中条、筒、万、中、发、白的数字魔方：

和普通魔方相比，数字魔方的转法的变化量大，还是两种一样大呢？魔方的变化量计算将是本文探讨的重点。本文通过排列组合等数学知识结合魔方结构特点将要讨论两个问题：（一）三阶普通魔方变化量；（二）三阶数字魔方变化量。第一个问题，主要是对前人的工作做一些归纳总结，并澄清一些互联网上的错误认识；第二个问题是分析计算三阶数字魔方的变化量。

文章第二部分介绍概念，第三部分主要讨论魔方变化量计算模型、定义及具体计算过程，为论文核心部分，第四部分归纳总结。本文只讨论三阶魔方。

二、基本概念

普通魔方的总变化量是指魔方的每一个状态都可通过旋转还原成每个面相同的状态（包括这个状态本身，我们称之为原始状态）。一些状态，如下图，可以通过魔方拆卸实现还原，但不能利用旋转的方法还原成原始状态。不能通过旋转还原成原始状态的状态不在我们讨论的总变化量范围内。

三、魔方变化量计算

3.1问题的提出

要解决数字魔方和普通魔方哪个变化量大，就要先了解普通魔方的变化量。知道普通魔方的变化量计算方法，也就降低了数字魔方变化量计算的难度。

网上查到普通魔方变化量为212x38x12!x8!/(3x2x2)种，但解释至少有两个，一个是魔方有“同构”现象，一个是有些状态通过旋转魔方是转不出来的。到底该相信哪一个，我开始了对魔方的深入“研究”。

3.2运动规律及方向变化

首先分析普通魔方26个小块的运动规律，即分析运动方向和位置。

魔方转动时，6个中心块不但无法移动到角块和棱块位置，而且中心块之间也无法变换，这是显而易见的。其所做的运动只有原地的转动，转动角度有90度、180度、270度、360度（或称0度不动），这种转动对普通魔方而言意义不大，但对数字魔方却十分重要。

每个角块可达到8个角块位置中的任何一个，且只能在角块间移动，但当某个角块要达到指定角块位置时，处于这个位置的角块必需运动到其他角块位置，同时还要带动其他相关的角块、棱块和中心块一起转动。

同样，每个棱块也只能在12个棱块位置间转换。

其次，分析它们的颜色。

对于普通魔方，6个中心块每块有1种颜色，转动不同角度时没有差别；对于数字魔方，有差别。

8个角块每块有3种颜色，没有两个完全相同的角块，每种角块的3种不同颜色可到达于6个面的任何一个角块位置之中。

12个棱块每块有2种颜色，没有相同棱块，每种棱块的2种不同颜色可到达于6个面的任何一个棱块位置之中。

总结以上，就是每个棱块在12个不同棱块位置间运动，有2个不同“方向”；每个角块在8个不同角块位置间运动，有3个不同“方向”；每个中心块位置不动，即只有一个固定位置，只转动角度，有4个不同“方向”。

至此，应该毫无疑问。

3.3位置变化量的计算

下面开始计算变化量，利用学过的排列组合知识就足够了。

首先计算棱、角以及中心块位置的变化量。

对于普通魔方，要把魔方先“固定”住，即黄色中心块在上面，同理，白下、蓝前、绿后、橙左、红右。当然，玩魔方的时候，为操作方便，总是转动那些在你的视觉内的，所以是可以“动”这些位置的。但为了讨论问题方便，这时需要固定魔方，而移动你自己。

棱上有12个位置，12个棱块的位置变化量为12！。

角上有8个位置，8个角块的位置变化量为8！。

6个面每面有1个中心位置，6个中心块的位置变化量是6！、6、0，还是1？答案应该是1。不是6！，也不是6，更不是0。

所以，总的位置变化量为12！x8！x1。

3.4运动方向的变化量

不考虑棱块、角块、中心块之间的相互关联条件下，可以轻松计算它们的运动方向的变化量。请记住这里的假定条件，后面要重点叙述。

对于一个角块，其运动方向有3个，即：不旋转、旋转120度、旋转240度，共计3个不同方向，8个角块的变化量则为38。

对于一个棱块，其运动方向有2个，即：不旋转、旋转180度（也称翻转），共计2个不同方向，12个棱块的变化量为212。

对于一个中心块，其运动方向有4个，即：不旋转、旋转90度、旋转180度、旋转270度，共计4个不同方向，6个中心块的变化量为46。可是，对普通魔方而言，因为虽然是4个方向，但其都是同样一种颜色，所以其变化量仍为1；而对于数字魔方，其变化量可达到46。

所以对于普通魔方，其棱块、角块和中心块的运动方向共计38x212x1。

但棱块、角块之间真的是没有关系吗？这个问题不是那么简单。在思考这个问题的时候，我几乎要放弃了，因为查阅了一些关于论文，有的竟然涉及群论等知识，我根本都没有学过，公式和符号都不理解。但在爸爸的帮助和鼓励下，我坚持了下来，当然也学习了不少网上的好方法并借鉴了很多定义。

下面关于运动方向的几个定义参考了“台湾交大应用数学系”的郭君逸助理教授的《魔方中的数学》和项思陶的《三阶魔方的图案有多少种》，并进行了一些修改。

定义1：角块方向旋转数：以底面白色或顶面黃色的方向为方向，朝上或朝下以数字“0”表示；顺时针转以数字“1”表示；逆时针转以数字“-1”表示。

根据定义1，角块方向旋转数有以下特性：

1、转动顶面与底面时，角块方向旋转数总和不变；

2、前、后、左、右四个面正、逆时针转动时，两个角块方向旋转数分别加1、减1。

3、角块方向旋转数总和一定是3的倍数。

定义2：棱块方向旋转数：以白色或黃色的方向为方向，若无白或黄的棱块时，以红、橙为方向。对于底层、顶层，朝上或朝下旋转数为正面方向，用数字“0”表示，否则用数字“1”表示；对于中层，朝左或朝右为正面方向，用数字“0”表示，否则以“1”表示。

根据定义2，棱块方向旋转数有以下特性：

1、转动顶面、底面、前面、后面，数字总和不变；转动侧面时，顺、逆时针转动左右侧面时，两个旋转数分别加1或减1。

2、棱块旋转方向数总和一定是2的倍数。

定义3：中心块方向旋转数：所在面的顺、逆时针方向为方向，不转动，用数字“0”表示，顺时针旋转90度，用数字“1”表示，顺时针旋转180度，用数字“2”表示，顺时针旋转270度（即逆时针旋转90度），用数字“-1”表示。

根据定义3，中心块方向旋转数有以下特性：

即：中心块方向旋转数总和一定是2的倍数。

定义4：排列：n个数字的排列中，k后面比k小的数目之和（k=0,…,n-1）。总和为偶数时，则称为偶排列，总和为奇数时，则为奇排列。

根据定义4，可知排列中任意两个数字交换，则奇偶性改变，即奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。

举个例子来说明，一个有6个数字的排列134265，1后比1小的数为0，记为0，3后比3小的数有1个，4后比4小的数有1个，2后有0个，6后有1个，5后为0。所以总数为0+1+1+0+1+0=3个，故该排列为奇排列。5和6位置交换后，则此排列则变为偶排列。

根据定义4及编号规则，有如下结论：旋转任何一个面都是一个偶排列。

3.5普通魔方变化量的计算

上小节给出了棱、角、及中心块位置变化数和不相关条件下的方向旋转数的变化量。但实际上方向变化时，棱块、角块以及中心块之间是有相关作用的。

根据定义1，角块的方向旋转数总和应为3的倍数，也就是不为3的倍数的数不可能出现，即除3余数1、2的数是不可能出现的。因为每个角块的作用相同，所以产生余数为0、1、2的个数相等，故余数为0的个数占总数的1/3，即实际角块的方向旋转数为38/3=37。

同理，根据定义2，棱块方向旋转数总和应为2的倍数，所以实际棱块的方向旋转数为212/2=211。

根据定义3，中心块方向旋转数总和应为2的倍数。但对于普通魔方中心块的研究对变化量的计算没有关系，所以实际中心块方向旋转数为20=1。

根据定义4，任何一个面都是一个偶排列，所以不存在奇排列，故方向上总变化数为37x211/2=37x210。

综上，普通魔方的变化总量为：12！x212x8！x38x1/（3x2x2），记为T。

至此，我们完全可以否定认为计算过程中除以的那个12是因为“同构”造成的这种错误说法了,还有[8]中对除数中最后的因子“2”的解释也不太合理，[9]等网站上发表的一些变化量结论更值得怀疑。

3.6数字魔方的变量的计算

有了以上的定义基础和对普通魔方变化量的计算，数字魔方的变化量计算就容易了。

从魔方的结构上可以看出，数字魔方的棱块、角块与普通魔方的棱块、角块没有区别，所不同的只有中心块。

对于数字魔方，假设其六个面分别为麻将牌中的中、发、白、条、筒、万6种字，对于万字这个面一、二、三万在顶层、四、五、六万在中层，七、八、九万在底层。在魔方还原过程中，完全利用普通魔方的还原方法，可以使6种不同字都还原到6个不同的面中。这时会看到，对于万字所在的面，除去中心块的“五万”有可能方向与其他8个万字不一致，其余不但都已经在相应位置，而且方向也是一致的，其他各面原理相同，这是由角块、棱块上数字的唯一性决定的。利用普通魔方的还原方法，可以使8个角块、12个棱块的位置和方向都实现位置和方向的还原。对于数字魔方的还原，主要是对6个中心块的还原。

数字魔方变化量的计算，也是在普通魔方变化量的计算结果基础上考虑中心块变化量的计算。

每个中心块最多有4个不同方向，普通魔方的中心块的4个方向不能区分，所以不需要考虑；而对于“五万”这类，其转到4个角度时是不一样的，是需要区分4个方向的；对于白板、五筒、五条等，其不旋转和180度旋转是不能区分的，同样90度和270度（-90度）旋转也是不能区分的，所以只需要区分2个不同方向。

由上节定义3知道，全部6个面都需要区分4个方向的旋转，不相关情况下，共有46个变化量。又因为中心块方向旋转数总和为2的倍数，由棱块、角块相同的证明方法，知其实际相关条件下，中心块方向旋转数总量为46/2=2048。

对于由条筒万中发白组成的麻将字组成的数字魔方，只要分析其中心块中的五条、五筒、五万、中、发、白的方向数就可以了，实际上白板、五条、五筒只有两个方向需要区分，其余都为4个，所以其总的方向旋转数为43x23/2=256。

中心块总的变化量与普通魔方的总变化量的乘积，就是数字魔方总的变化量。

即对于6个面都需要区分4个方向的数字魔方而言，总变化量为12！x212x8！x38x1x46/（3x2x2x2）=2048T。

对于3个面区分4个方向，另外3个面需要区分2个方向的“麻将”数字魔方而言，总变化量为12！x212x8！x38x1x4323/（3x2x2x2）=256T。

四、基本结论及一些认识

在三阶普通魔方变化量计算的基础上，我进行了数字魔方变化量的研究并撰写了论文，给出了两种不同形式数字魔方变化量的计算结果。

撰写论文过程中，我查阅了很多资料，并进行了部分实验，对魔方的认识不断加深，发现里面的要研究的东西真是很多。我从中既体尝到了乐趣，也学习到了很多知识和方法。

参考文献：

[1]张永康,朱平天.魔方旋转变换群的阶.南京师大(自然科学版),1984,(2):27-33.

[2]朱磊.群论在魔方中的应用.苏州:苏州大学,2008.

[3]郭君逸.魔方中的数学(PPT).台湾交通大学应用数学系.

[4]项思陶.魔方的一点点数学知识：三阶魔方的图案有多少种.http://blog.renren.com/share/311581234/8249118297

[5]魔方乐园.http://www.mf100.org/beginner_01.htm

[6]魔方知识集锦.百度文库.

http://wenku.baidu.com/view/a549300a52ea551810a6875e.html

[7]魔方知识普及讲座.百度文库.

http://wenku.baidu.com/view/9d29501cfad6195f312ba6da.html

[8]百度知道http://zhidao.baidu.com/question/222518229.html

[9]http://zhidao.baidu.com/question/442547506.html