有关二阶线性递归(推)数列的理论及应用

有关二阶线性递归(推)数列的理论及应用

宗玉玫

课例分析与教案设计*有关二阶线性递归(推)数列的理论及应用

宗玉玫

【摘要】本文旨在对现行中学教材中的一般递推数列进行研究，用二阶线性递推的理论探讨其求数列通项及数列和的一般方法。

【关键词】二阶线性递推数列；齐次式；特征方程；特征根Ofthesecond-orderlinearrecursion(push)thetheoryofseriesanditsapplication

ZongYumei

【Abstract】Thepurposeofthispapertotheexistingsecondaryschooltextbookseriesofthegeneralrecursivestudy,usingthetheoryofsecond-orderlinearrecursiveordertoinvestigatetheseries,andseveralpassedoutandthegeneralapproach.

【Keywords】second-orderlinearrecursivesequence;homogeneoustype;characteristicequation;eigenvalue1关于递推数列的通项问题

对于数列a1,a2,a3……,an……(1)

如果存在两个固定的数(实数或复数)p1p2使对任意n都有

an＝２+p1an+1+p2an=0(2)

则称数列(1)为二阶线性递推数列。

我们知道，如果要求出数列（１）,只需知道前两项即a1，a2再根据(2）式可求出a3,同理可求出a4,a5……从而可以找到an的表达。满足以下两个条件：

（1）当n=1,2,3,……k,得a1，a2，a3，……ak；

（2）对任意n，由该表达式可以得到数列(1)的项，则这个表达式就解决了符合(2）式的数列(1）的问题。

除此之外，如果存在n和2个常数c1和c2的函数：an＝f（n，c1，c2）而两个常数满足方程：

f（1，c1，c2）＝a1

f（2，c1，c2）=a2

那末，也就找到了an的一般表达式。

设方程(2)的解型为an=xn

那末x满足方程x2+p1x+p2=0(该方程称为数列的特征方程)

如果特征方程没有重根，则一般表达式为

an=c1xn1+c2xn2(3)

如果特征方程有重根，则一般表达式为

an＝（c1＋c2·n）xn(4)

例1，已知an＋2－5an＋1＋6an＝0,a1=1,a2=-7,求an的表达式

解：设an的解型为an=xn

则有特征议程x2－5x＋6＝0x1＝2，x2＝3

所以an的一般表达式为an＝c1×2n+c2×3n

由初始条件a1=1,a2=-7

f（1，c1，c2）＝c1×2＋c2×3＝a1＝1

f(2,c1,c2)=c1×22+c2×32=a2=-7得c1=5

c2=-3

故an＝5×2n－3n＋1

理论上特征方程(无重根情况)为什么为an=c1xn1+c2xn2的证明略！

例2已知数列an对于任意n都有

an＋2－6an＋1＋9an＝0且a1＝3，a2＝0。求an的表达式

解:假设an的解型为an＝xn其特征方程为

x2－6x＋9＝0

x1＝x2＝3有重根，级数的解型为an＝（c1＋c2×n）3n

f（1，c1，c2）＝（c1＋c2）×3＝3

f(2,c1,c2)=（c1+c2×2）×9=0得c1=2

c2=-1

所以an=(2-n)×3n

以上的例题都有一个特点，均是标准二阶线性递推的数列。下面就介绍一下非二阶线性递推数列(但可化成二阶线性递推数列的一些数列)，这些数列一般都要通过一些特殊的技巧(这里介绍5种技巧，是起抛砖引玉的目的，希望各位老师挖掘出更好的方法和技巧）。

例3已知an+2-5an+1+6an=4a1=2,a2=6求数列的通项。

解:法一an＝bn＋a（此法：做替换×1加常数替换)a为常数

则(bn＋2＋a）－5（bn＋1＋a）＋6（bn＋a）＝4

bn＋2－5bn＋1＋6bn＋（a－5a+6a)4（选择适当的a）

使a-5a+6a=4a=2但注意｛bn｝的初始条件(因an=bn+a)

所以bn＋2－5bn+1+6bn=0由例1可知

bn＝c12n＋c23n得an＝c12n＋c23n＋2

c1×2＋c2×3＝2

c1×22＋c2×32＝6得c1=-2

c2=43

故an=-2×2n×433n+2

=22×3n-1-2n+1+2

注：如果an＋2＋p1an＋1＋p2an＝c且上式的系数代数和为0

(例)an＋2＋5an＋1－6an＋4则用加常数替换法无效

因为同上ban＋2＋5bn＋1－6bn＋（a＋5a－6a）＝4

a＋5a－6a＝0d≠4故此法无效。

法二(可用再递推一次法)下面就介绍再递推一次法

例4已知an＋1－an＝3na1＝1

解：法一(因为该题an＋1与an的余数比是1∶（－1）所以是最容易的一种递推数列)

由于1，32，33，……，3n组成的数列显然是一个等比数列

其和Sn＝3（3n－1）3－1＝32（3n－1）

再a2－a1＝31

a3－a2＝32

……

an+1-an=3n

an+1-a1=32(3n-1)所以an＋1＝32（3n－1）＋1

故an＝32（3n－1－1）＋1

法二，再递推一次法由于对于任意n

均成立an＋1－an＝3n（1）

所以an＋2－an＋1＝3n＋1(2)

（2）－3×（1）故an＋2－4an＋1＋3an＝0

特征方程为x2－4x＋3＝0x1＝1，x2＝3

级数解型an＝c1×1n＋c2×3n

f（1，c1，c2）＝c1＋c2×3＝a1＝1

f（2，c1，c2）＝c1＋c2×32＝3＋a1＝4所以c1＝－12

c2＝12

故an＝32（3n－1）＋1

再回到例3，用再递推一次法

法二由于关系式an＋2－5an＋1＋6an＝4对于任意n成立

所以an＋3－5an＋2＋6an＋1＝4（1）

an＋2－5an＋1＋6an＝4（2）

（1）－（2）an＋3－6an＋2＋11an＋1－6an＝0（3）

(3)的特征方程是

x3－6x2＋11x－6＝0

（x3－x2）－5（x2-x)+(6x-1)=0

（x-1）（x2-5x+6）=0

（x-1—）（x-2）（x-3）=0

故x1＝1，x2＝2，x3＝3（不等根)

数列的解型为an＝c1＋c2×2n＋c3×3n

初始值a1＝2，a2＝6

a3＝4＋5×6－6×2＝22

f（1，c1，c2，c3）＝c1＋2c2×3c3＝2

f（2，c1，c2，c3）＝c1＋4c2×9c3＝6

f（2，c1，c2，c3）＝c1＋8c2×27c3＝22解得c1=2

c2=-2

c3=43

故an=2+(-2)2n+43×3n

即an＝22×3n－1－2n＋1＋2

下面引出一组习题

（一)递归关系式的解法，试给定下列条件求数列的通项公式：

1.a1=1,an=an-11+an+1(n≥2)

2.a1=1,an=2a2n-1+1(n≥2)

*3.a1=a2=1,an=an-1-an-22an-1-1(n≥3)

提示：1.bn=1an＊3作倒数替换

2.设bn=a2n*4.作平方替换

＊3.借助于猜测求出通项公式并按归纳法证明它。此题难度较大略！

答案：1.an＝1n2.an＝2n-13.an=92{n3}(1-{n3})

(二)递归关系式解法的拓广

1.求被条件a1＝a2＝2an＝an－1×a2n－2（n≥3)所给定的数列通项

公式，＊5.做对数替换

提示：设bn＝log2an答案：an＝22n＋（－1）n＋13。

2.求被条件a1=12,a2＝13，an＝an－1×an－23an－2－2an－（n≥3）所给定的数列的通项公式

提示：设bn＝1an，答案：an＝11＋2n－1。

（一)1.的详解，因为我们设bn＝1an，an≠0又an＝an－11＋an＋1中1+an-1≠0(n≥2)所以an＝1bn代入得1bn=1bn-1bn-1+1bn-1即得1bn＝1bn－1＋1等式代换，均为既约分数

故bn＝bn－1＋1

法一,∵bn-bn-1=1(n≥2)∴{bn}为b1＝1d＝1的等差数列

∴bn＝1＋（n－1）d＝1＋（n－1）＝n∴an＝1n

法二，用再递归一次的方法

bn＝bn－1＋1(1)

bn＋1＝bn＋1(2)

（2）－（1）bn+1=bn+1

特征方程为x2－2x＋1＝0

x1=x2=1重根

∴数列的解型为bn＝（c1＋c2·n）n即bn＝c1＋c2·n

f(1,c1,c2)=c1+c2=1

f(2,c1,c2)=c1+c2×2=2得c1=0

c2=1∴bn+1=n

则an＝1bn即an＝1n

2.的详解∵a1＝1，an＝2a2n－1＋1，等式右边an>0且右边2a2n－1＋1>0

∴将式两边平方a2n＋1＝2a2n－1＋1

设bn＝a2n∴所以上式化为bn＝2bn－1＋1（n≥2）

即bn-2bn-1-1=0(1)

用再递归一次法bn＋1－2bn－1＝0(2)

（2）－（1）bn＋1－3bn＋2bn－1＝0(3)

（3）的特征方程是x2－3x＋2＝0x1＝1，x2＝2不等式

数列bn的解型：bn=c1=c2·2n

f(1,c1,c2)=c1+c2×2=b1=1

f(2,c1,c2)=c1+c2×4=b2=3得c1=-1

c2=1

而b2＝a22＝2×a21＋1＝3故2n-1则an＝2n－1

（二)1.的详解：因为a1＝a2＝2n≥3的情况下，等式右边

an－1×a2n－2≥0则等式左边an≥0

将等式an=an-1×a2n-2两边取以2为底的对数,(∵a1=a2=2)

∴log2an=log2an-1+2log2an-2

设bn＝log2an则上式变为

bn－bn－1－2bn－2－1＝0(n≥3）

∴上式的特征方程为x2－2x－2＝0

解得x1=2,x2=-1

∴bn=c1×2n+c2(-1)n

又b1=b2=log22=1

f(1,c1,c2)=c1×21+c2×(-1)1=1

f(2,c1,c2)=c1×4+c2×(-1)1=1得c1=13

c2=-13

故bn=22n+(-1）n＋13

∴bn＝log2an

故an＝22n+(-1）n＋13

2.的详解设bn=1an(an≠0且n≥3)则an＝1bn

代入原式1bn＝13bn－1－2bn－2（为既约分数)

∴bn＝3bn－1－2bn－2即bn-3bn-1+2bn-2=0

特征方程x2-3x-2=0

解得x1＝1，x2＝2

a1＝12，b1＝2a2＝13，b2＝3

是不等根∴bn＝c1＋c2n

f(1,c1,c2)=c1＋C2×2=2

f(2,c1,c2)=c1×4+c2=3得c1=1

c2=-12

∴bn=1+122n＝1＋2n－1

故an＝11＋2n-1参考文献

［1］陈景润.组合数学.河南教育出版社，1985

［2］［俄］M.N.巴斯马科夫.代数与分析习题集.莫斯科.科学杂志，1982