三自由度工业机器人动力学分析

三自由度工业机器人动力学分析

于帅涛

（身份证号：13062719830814xxxx）

摘要：近些年来，随着我国经济社会的迅猛发展，国内的工业化发展也随之获得了空前的发展机会。以工业用三自由度机器人为模型进行研究。首先通过拉格朗日功能平衡法来建立机器人的本体动力学模型，然后根据机器人的结构原理图和建立的坐标系推导出机器人的雅可比矩阵，再通过运动学逆解求出各个关节的运动角速度和角加速度。机器人的各个关节都采用PMSM来进行控制，通过PMSM的数学模型，得到电机的电磁转矩与负载转矩之间的联系，并用飞轮矩来表示转动惯量，并将转矩和飞轮矩通过减速器减速比折算到电机轴上，得到系统总的转动力矩，将得到的机器人的本体动力学模型与雅可比矩阵以及PMSM折算后的转矩相结合，就可以得到机器人完整的动力学模型，可以直观地看出电机各变变化与机器人位置以及速度之间的关系。

关键词：三自由度；工业机器人；动力学

引言

现在的服务型机器人当中的动力学运用比较广泛，如波士顿机器人的后空翻动作运用的是典型的动力学设计，但是在工业机器人领域当中，更多的是运用运动学来解决问题，动力学的运用相对来说就少之又少，现有的动力学中也以机器人的本体动力学为主，然而，机器人在运动的过程中必然会存在能量的消耗问题，而机器人的动力来源于电机，将电机模型和机器人本体动力学模型结合得到的动力学模型将全面考虑机器人的运动过程中的消耗问题，也将为日后的工业机器人的动力学研究打下基础。

1自由度的概述

在统计学中，自由度(degreeoffreedom,df)指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本数量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。统计学上，自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度。一般来说，自由度等于独立变量减掉其衍生量数。举例来说，变异数的定义是样本减平均值(一个由样本决定的衍生量)，因此对N个随机样本而言，其自由度为N-1。

数学上，自由度是一个随机向量的维度数，也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数。举例来说，从电脑屏幕到厨房的位移能够用三维向量

来描述，因此这个位移向量的自由度是3。自由度也通常与这些向量的座标平方和，以及卡方分布中的参数有所关联。

完整地描述一个力学系统的运动所需要的独立变数的个数。一个自由质点在空间的位置需要用独立的三个坐标x，y，z来确定，故一个自由质点的自由度为3。具有n个质点的自由质点系，它的自由度是3n。如果一个质点系附有K个互相独立的约束方程（不论约束方程为有限约束或微分约束），则它的自由度为3n－K（见约束）。由此我们可以确定，一个自由刚体的自由度为6。

对于完整系统，自由度N=3n－K正好是广义坐标（i=1，2，…，N）的个数，因为它们是相互独立的。对于非完整系统，由于K个约束方程中一定还包含不可积的微分约束，所以自由度N是独立的（广义坐标的微分）的个数。

图1三自由度机器人结构原理图

一个力学系统，它的自由度和独立的动力方程的个数是相同的（动力方程包括平衡方程）。因为一个刚体的平衡条件有6个（其中三个是力的平衡方程，另三个是力矩的平衡方程），所以，刚体的自由度是六。N个自由度的非完整系统的阿佩尔方程正好是N个。

2机器人本体动力学模型

三自由度机器人的结构原理图如图1所示。

图2三自由度机器人结构仿真图

图1中，A、B两点之间为杆1，杆长为d1，质量为m1，旋转角度为0°≤θ1≤180°，驱动电机在A点作用；B、C两点之间为杆2，杆长为d2，质量为m2，旋转角度为0°≤θ2≤180°，驱动电机在B点作用；C、D两点之间为杆3，杆长为d2，质量为m3，旋转角度为0°≤θ3≤180°，驱动电机在C点作用。其中，各杆的质量均以杆末端点的质量来表示。

我们利用拉格朗日功能平衡法来计算系统的本体动力学方程。

拉格朗日函数定义如下：

L=K−P

其中，K表示动能，P表示位能，K和P可以用任何方便的坐标系来表示。

则机器人的动力学方程可以表示为：

由式(1)、式(2)我们可以得到机器人的本体动力学方程为：

其中，q为广义坐标向量，τ为广义力向量，M(q)为惯量阵，C,(qqC&为离心力和哥氏力等相关部分，G(q)为重力部分。

3雅可比矩阵

根据机器人运动学方程的正解，可以知道末端抓手的位置矢量P1，P2，P3，则沿基坐标轴方向的平移速度矢量可以表示为：

由此可以得到机器人的雅可比矩阵为：

即：

4电机模型

机器人的驱动电机我们选用PMSM（永磁同步电机），PMSM在同步旋转坐标下的数学模型可以表示为：

式中，ud和uq分别为d轴和q轴的定子电压；id和iq分别为d轴和q轴的定子电流；TL为负载转矩；RS为定子电阻；ω为转子机械角速度；Φ为永磁体产生的磁链；np为极对数；J为转动惯量；Te为电磁转矩。

若机器人的关节驱动电机为PMSM，三自由度机器人动力学控制原理图如图3所示。

在工程计算中，往往不用转动惯量J，而用飞轮矩GD2，两者之间的关系如下：

其中，ρ，D为惯量的半径与直径，m为旋转部分的质量，G为旋转部分的重量，g为重力加速度，g=9.81m/s2。

将式(11)代入式(10)中可得：

图3机器人动力学控制原理图

当Te>TL时，dω/dt>0，系统加速；

当Te<TL时，dω/dt<0，系统减速；

当Te=TL时，系统以恒速运动，即稳态运动，在稳态时，电动机的电磁转矩大小由电动机的负载转矩所决定。

在实际的系统中，在电机与负载之间往往有减速器，如图4所示。

图4多轴传动系统图

在计算过程当中，我们通常将负载转矩折算到电机转矩上。

首先，按照能量守恒，折算到电机轴上的负载功率应等于工作机械的负载工率加上减速器中的损耗，即：

两种运动负载折算到电机轴上的转矩为：

式中，1η<<1为传动效率，i=ωM/ωL为减速器减速比。

按照能量守恒：

等效的转动惯量和飞轮矩分别为：

5机器人动力学模型

机器人的动力学模型就是将机器人的本体模型与雅可比矩阵和电机模型相结合，即由式(3)、式(9)、式(12)、式(17)可得：

结语

近些年来，伴随着先进科技水平的不断发展，国内的机器人发展也随之逐渐强化起来，本文研究的对象主要是三自由度工业用机器人，对其动力学进行了分析。我们首先通过机器人的结构原理图及其相关参数得到机器人的本体动力学模型，再通过建立的坐标系推导出机器人的雅克比矩阵，再通过运动学逆解，知道末端位姿与各个关节之间的联系。机器人的各个关节都采用PMSM来控制，通过PMSM的数学模型得到电机的电磁转矩与负载转矩之间的联系，并将负载的转矩和飞轮矩通过减速器的减速比和能量守恒定律折算到电机侧，得到了折算到电动机轴上的总转动惯量，进而得出机器人完整的动力学方程。通过方程我们可以看出，电机的转速、重量以及惯性直径和减速比等都与机器人各关节的位置和速度有直接的关系，我们可以改变相关的参数来改变机器人的姿态，实现良好的控制，这为日后研究工业机器人的动力学控制打下基础。

参考文献

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[2]李瑞峰,郭万金,曹雏清.新型五自由度混联机器人及其动力学分析[J].华中科技大学学报(自然科学版),2017(z1).

[3]崔文.多连杆柔性关节机器人的动力学与控制算法研究[D].南京航空航天大学,2016.