谈探索性问题的求解策略

谈探索性问题的求解策略

穆淑芳

穆淑芳

〔摘要〕所谓探索，就是广泛收集问题所给信息，合理选择已有的知识方法，经周密思考和判断推理得出结论。探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动。

〔关键词〕探索问题求解策略

探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中更为普遍。传统的解答题或证明题在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件———演绎———结论”这样一个封闭的模式之中。探索性题型是相对于传统的封闭题型而讲的，这类题综合性强，解法灵活多解，一般没有明确结论，没有固定的形式和方法，要求学生通过自己的观察、分析、比较、概括，得出结论，并加以论证结论的正确性。

1探索性问题与封闭性问题的区别

请看下面两道数学题：①点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA：OB=2：1，且△AOB的面积等于4，求点A、B坐标。此题的结论明确，解题时依据数形结合法画出草图，由点的坐标与三角形面积关系可求得点A、B坐标。类似这样的题目属于常见的“封闭性”数学问题。②点A、B分别在坐标轴上，OA：OB=2：1，且△AOB的面积等于4，试判断是否存在A、B满足上述结论。若存在，请求出点A、B坐标；若不存在，请说明理由。

比较上述两题，题中要求的问题一样，就是题中已知条件有点差异，第2题中没有给出点A、B在坐标上的明确位置，因此相应的图形也不能确定，这样要对点A、B在所在的坐标轴上的相应位置进行分析。排除点A、B在同一坐标轴上的存在性；再对点A、B在不同坐标轴上进行分类讨论，演绎推理，判断并做出解答。后一题对研究点A、B位置提供了广阔的思维空间，具有开放发展性，这使解答问题的过程变成试验、猜测、类比、归纳和探索的创新活动，把直觉思维与逻辑思维结合起来，这样的活动有启迪科学方法的作用，有创造发明的意义，具有较高层次的训练价值和考查价值。这类问题就是探索性问题。

2探索性问题的分类和求解方法

2.1条件探索型。条件探索型问题即得出结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件。一般要求判断并完善条件的充分性，解题的思路是：分析结论成立对应具备的条件，再加以比较，或找出条件和结论之间的矛盾。方法探究：在△APC和△ACB中，已有一角对应相等，因此添加的条件应从“有两个角对应相等，两个三角形相似”和“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”两个途径进行思考，本题是一个条件探究题，这类问题一般解法是把结论当作已知反溯条件。

2.2结论探索型。结论探索型问题：即给出了条件，但没有明确的结论，或者结论是不确定的；一般会给出结论的可能范围，解题思路是：展开探索活动，猜测结论并加以证明。

例：长方形的周长为24cm，面积64cm2，则这样的长方形（）。（A）有一个（B）有二个（C）有无数个（D）不存在解：（略）

2.3存在探索型。这类问题有一种表现形式，就是判断“是否存在”。要说明存在，只需要找出一个符合要求的对象；或者假设存在并进行推理，若结果合理则假设成立，若结果出现矛盾则假设不成立。要说明不存在，即无论用什么方法都找不出符合要求的对象，这时一般要用反证法进行推理论证，或者举出反例。

例：如果关于X的二次方程（m－1）x2－2mx＋m＋6＝0没有实数根，是否存在实数m使关于x的方程（m－2）x2＋2（m＋3）x＋m＋5＝0有两个不相等的实数根？

分析：由第一个方程是二次方程且没有实数根，则有m－1≠0且△1＜0，从中可求出m的取值范围。另外，第二个方程含有字母系数，并没有指出是二次方程，但要有两个不相等的实数根，因而必须有二次项系数m－2≠0再考察根的判别式△2是否大于0？解：（略）方法探究：讨论含有字母系数的方程的根的实数性时，首先应该判别它是属于哪一类方程，然后采用相应解法。对本题来说，不要认定它们是二次方程，因二次项系数有可能等于零，所以应该对二次项系数是否等于零进行分类讨论。在运用一元二次方程根的判别式时，一定要注意二次项系数不为零这个前提条件，否则不能用。

2.4规律探索型问题。规律探索型问题：先提出特殊情况进行研究，再要求归纳，猜测和确定一般结论；题目已指明从特殊到一般的递进过程，解题的关键在于归纳和猜测。例：观察下列等式，你会发现什么规律？3×5=15而15=42-1；5×7=35而35=62-1；7×9=63而63=82-1。将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来。

分析：观察所给的三组等式，每组前面是相邻两个奇数的积，后面是这个积都等于相邻奇数之间的偶数的平方与1的差，从而表示为：（2n－1）（2n＋1）＝（2n）2－1在教学实践中还可发现有一类题，解题方法需要独立创新，利用数学结构的和谐统一和互相渗透的辩证关系，在观察、分析、联想、类比过程中，求出结果。

例：计算51+52+53+……+100分析：联想梯形面积公式，类比把所求的和摞成一个梯形，用梯形面积公式来求和。解：原式=(51+100)×50&pide;2=3775这类题要有更强的基础知识和基本技能，需要联想等手段。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。

随着新一轮课程改革的深入，新教材的广泛使用，探索性问题已成为初中数学教学中的一个重点和难点。探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中更为普遍。通过探索性数学问题的解题活动，不仅可以促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，而且更加有利于各方面能力的整体发展和思维品质的全面提高，有利于科学方法和创造才能的培养，这正是新教材中积极引进探索性数学问题的意义所在。

作者单位：新疆石河子总场第一中学__