“抽绳”问题剖析

“抽绳”问题剖析

张素华

江苏省射阳县第二中学张素华

在高中物理必修2的“运动的合成和分解”这一节里，有一类典型的“抽绳”问题。所谓“抽绳”问题，是指同一根绳的两端连着两个物体，其速度各不相同，常常是已知一个物体的速度和有关角度，求另一个速度。要顺利解决这类题型，需要搞清两个问题：

（1）分解谁的问题

哪个运动是合运动就分解哪个运动，物体实际经历的运动就是合运动。

（2）如何分解的问题

由于沿同一绳上的速度分量大小相同，所以可将合速度向沿绳方向作“投影”，将合速度分解成一个沿绳方向的速度和一个垂直于绳方向的速度，再根据已知条件进行相应计算。

其实这也可以理解成“根据实际效果将合运动正交分解”的思路。实际上，物体的运动可看作参与了两个运动：物体从A运动到B的过程可等效看着参与了以O为圆心、AO为半径的从A至C的圆周运动与沿绳方向的从C到B的直线运动。即物体的运动可分解成沿绳方向的运动和垂直绳方向的运动。

例题1：重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高，则当滑轮右侧绳与竖直方向的夹角θ为，且重物下滑的速度为v时，小车的速度v|是多少？

【解析】：对这类问题，虽然大多数学生都知道小车此时的速度跟吊绳上各点的速度大小相等，但在求解时却有相当一部分同学画出了图3所示的速度分解图，于是便得到此时小车的速度v|=v/cosθ.

这是错误的，错误主要是没能分清合运动与分运动两者之间的关系以及物体的实际运动就是合运动，没能理解“根据实际效果将合运动正交分解”的思路。

在这一题中，物体M下滑的速度为合速度，被M带运动的绳参与了两种运动，一是沿绳的速度v1（径向），一是沿绳的摆运动方向，且与v1垂直的v2（横向），故应作出如图4的速度分解图，由此可求得v1=vcosθ,而v1=v|,所以小车的速度v|=vcosθ.

【剖析】我们可以将细绳拉M物体的拉力T分解，T在水平方向上产生了实际效果，使M物体紧紧地与杆接触；T在竖直方向也产生了实际效果，使物块沿竖直杆在竖直方向上产生运动状态的变化．但是应该注意到，将滑块M速度在水平方向分解是毫无意义的．因为滑块只沿杆在竖直方向运动，并没有在水平方向运动；应该紧紧抓住，绳与M滑块连接点的实际运动是竖直向下时，我们将v分解为沿细绳方向向下的分速度v1和垂直于绳的速度v2是正确的，有些同学极容易将细绳与滑块连接点沿细绳方向认为是合速度方向．因此，速度的合成与分解一定要依据其实际情况进行，合运动一定是物体的实际运动．

为了加深对这类问题的理解，我们再看一道类似的问题。

例题2：人在岸边通过定滑轮用不可伸长的绳拉小船，人以速度v在岸上匀速前进，求当绳与水平方向的夹角为θ时船的速度。

【解析】由于绳子不可伸长，必有人前进的速度与绳上各点速度大小相等。船的实际运动是合运动，我们将船前进的速度分解为沿绳方向和垂直绳方向的分速度，如图7的分解图，得v船=v1/cosθ,而v1=v,所以v船=v/cosθ.

【点评】：不论是力的分解还是速度的分解，都要按照它的实际效果进行．本例中，若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度，就没有实际意义了，因为船并不存在竖直方向上的分运动．

例题3：如图8所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？

【解析】由几何光学知识可知：当平面镜绕O逆时针转过30°时，则：∠SOS′=60°，

OS′=L/cos60°.

选取光点S′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动.速度v1和绕O点转动，线速度v2；因此将这个合速度沿光线OS′及垂直于光线OS′的两个方向分解，由速度矢量分解图9可得：

v1=vsin60°,v2=vcos60°

又由圆周运动知识可得：当线OS′绕O转动角速度为2ω.

则：v2=2ωL/cos60°

vcos60°=2ωL/cos60°,v=8ωL.

【点评】这道题看上去不是“抽绳”问题，但完全可以看作“抽绳”问题的推广，运用“抽绳”问题的解题思想来处理。

练习：

1、汽车通过滑轮拉重物A，汽车沿水平方向向右匀速运动，滑轮与绳的摩擦不计，则物体A的运动情况是（）

A.匀速上升

B.加速上升

C.先加速再减速

D.减速上升

答案：B

2、木块在水平桌面上移动的速度是v，当绳与水平方向之间的夹角为α时，跨过滑轮的绳子向下移动的速度是______。

答案：vcosα

3、物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v.

答案：

轻绳跨过定滑轮拉动物体问题是运动合成与分解习题中较为典型的一类，在实际教学中发现学生处理这类问题经常出错，熟练掌握“抽绳”模型就能很快解决此类问题.由此可见，如果我们能熟练运用模型，巧妙构建模型，往往能起到事半功倍之效.