探究导数在研究方程根的分布中的数学思想-中国期刊网

首页 > 《当代教育之窗》 > 2009年12期 > 探究导数在研究方程根的分布中的数学思想

（整期优先）网络出版时间：2009-12-22

作者: 张希杰（江汉油田广华中学湖北潜江433100）

文化科学 >学前教育学

打印

同系列资源

/ 1

探究导数在研究方程根的分布中的数学思想

张希杰（江汉油田广华中学湖北潜江433100）

【摘要】数学思想方法是数学新课程的重要目的，是发展学生智力的关键所在，是培养学生数学创新意识的基础，也是一个人数学素养的重要组成部分，在大力倡导新课程改革的今天如何在常规教学中，渗透数学思想是数学教师的主要任务。导数是高中数学的重要知识，是研究函数的重要工具和手段，也是数学思想体现最丰富的知识点，有关高次方程或非常规方程的根的分布问题也是应用导数研究的重要内容。在新课程改革浪潮中数学教师更应勇立潮头，勇于打破传统的教学模式，善于研究分析数学问题的实质，让学生自主探究数学思想方法，并应用这些方法，轻松快捷的解决数学问题。【关键词】导数；研究方程根；分布；数学思想DerivativeequationsinthestudytoexploretherootofthedistributionofmathematicalthoughtZhangXi-jie【Abstract】Themathematicalwayofthinkingistheimportantobjectiveofthenewmathematicscurriculumistodevelopstudentsintellectualcruxistodevelopinnovativemathematicsfoundation,isahumanbeinganimportantcomponentofmathematicalliteracy,whilevigorouslypromotingthenewcurriculumreformtoday,howConventionalteaching,infiltrationmathematicalthinkingisamajortaskofmathematicsteacher.Derivativeisahighschoolmathematicsandimportantknowledgeistostudythefunctionofanimportanttoolandmeansofmathematicalthinkingisreflectedalsothemostabundantknowledgepoints,theequationofhigherdegreeornon-conventionalequationofthedistributionoftherootproblemsareanimportantresearchapplicationofderivativecontent.InthenewwaveofcurriculumreforminmathematicsteachershouldYongLiforefrontofthecouragetobreakthetraditionalteachingmodel,goodatstudyandanalyzethesubstanceofmathematicalproblemsforstudentstoexploretheirownmathematicalthinking,andapplythesemethodstosolvemathematicalproblemsquicklyandeasily.【Keywords】Derivative；Studyequationroots；Distribution；Mathematicalthought【中图分类号】G124.2【文献标识码】A【文章编号】1236-3619（2009）12-02-0145数学思想方法是数学新课程的重要目的，是发展学生智力的关键所在，是培养学生数学创新意识的基础，也是一个人数学素养的重要组成部分，在大力倡导新课程改革的今天如何在常规教学中，渗透数学思想是数学教师的主要任务。导数是高中数学的重要知识，是研究函数的重要工具和手段，由于它是高中数学与大学数学分析的衔接点，历来受到广大师生的高度重视，也是数学思想体现最丰富的知识点，有关高次方程或非常规方程的根的分布问题也是应用导数研究的重要内容，如何渗透数学思想方法分析研究该问题是学生有效掌握这一知识点的关键所在，笔者从以下三道例题的教学中作了有益的探究以飨读者。例题1：已知方程x4－4x3+10x2－27=0，判断方程在［2，10］根的分布情况。探究分析：本题是一个高次方程求解问题，由高中现有知识直接变形解方程十分困难，由此我们应引导学生联想到在解决次数较高的问题时想到导数知识，再者函数与方程本身就有密不可分的关系，因为方程的根实质是其对应函数的图象与x轴交点的横坐标，因而我们不妨来研究函数f（x）＝x4－4x3+10x2－27与x轴的交点情况。探究过程：解设f（x）＝x4－4x3+10x2－27，∵f＇（x）＝4x3－12x2+20x＝4x，(x2－3x+5)由于对任意的x∈R，x2－3x+5＞0总成立因而只对因式x进行讨论来确定f＇（x）的符号。当x＜0，f＇（x）＜0，f（x）在（－∞，0）递减当x＞0时f＇（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，故f（x）极小值＝f（0）＝－27，又f（2）＝－3＜0f（10）＝6973＞0，由图形的单调性可知f（x）＝0在［2，10］仅有一个实根如图（一）数学思想分析：本问题的解答主要体现了函数方程的思想，转化的思想，数形结合的思想。例题2：已知f（x）＝2ln(1+x),g(x)=x2+k+1若f（x）与g(x)在［0，+∞）有两个不同的交点，求K的取值范围。探究分析：本题是探讨对数函数与二次函数的交点问题，而且含有参数k，由于两函数曲线结构的特点，我们很难有效把握其交点情况。因而对非常规曲线想到应用导数工具将曲线交点问题可以转化为超越方程f(x)＝g(x)，在［0，+∞）有实根问题。探究过程：解：由题意令f(x)＝g(x)即2ln(1+x)=x2+k+1变形为2ln(1+x)－x2＝k+1（此处采用了参变量分离数学方法）构造函数h(x)=2ln(1+x)－x2求导研究h(x)的图象。∵h＇(x)＝－x＝＝∵x＞0∴x+1＞0x+2＞0故有x∈(0，1)时h'(x)＞0h(x)在(0，1)递增x∈(1，+∞)时h'(x)＜0h(x)在(1，+∞)递减∴h(x)极大值＝h(x)max=h(1)=2ln2－，又h(0)=0而方程2ln(1+x)－x2＝k+1又可转化为函数h(x)与直线y=k+1的交点问题由h(x)的草图（如图）可知，要使方程在［0，+∞)有两个不同的实根，则有0≤k+1＜2ln2－解得：-2≤k＜4ln2－3即当-2≤k＜4ln2－3时方程有两个不同的实根，从而f(x)与g(x)有两个不同的交点如图(二)数学思想分析：本题的解答主要体现了化归与转化，数形结合的思想，特别是首先将曲线交点问题转化为方程问题，又将方程问题转化为直线与曲线的交点问题，如本题问题改为讨论交点状况自然由上图很快写出当k+1＜0或k+1＝2ln2－即k＜-2或k＝4ln2－3时方程有唯一实根，则f(x)与g(x)有唯一交点当k+1＞2ln2－即k＞4ln2－3时方程无实根即f(x)与g(x)无交点，如此一来又体现了分类讨论的数学思想。例题3：已知函数f(x)＝x3－x设a＞0如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明-a＜b＜f(a)探究分析：本题是2007年全国高考卷（二）的最后一题，初一看难度较大，首先三次函数的切线学生本身就还不十分清楚，其次本题有两个参数a,b而且又是比较两个参数的不等关系问题给学生造成很大的心理压力因而感觉无从下手。但仔细研究分析发现，研究高次函数的问题应容易想到导数工具，特别是与切线有关问题，笔者在此题的教学上完全是让学生思考分析回答的，首先我要求学生无论能否做对，至少要根据最起码的导数工具大胆写出f(x)在某切点(x0,y0)的切线方程，然后将(a,b)代入到切线方程中，在不断的启发下，学生很快想到看似只有一个关于x0,a,b，的等式，然回头再看条件“三条切线”马上悟于关于x0的方程会有三个不同的实根，从而将题意转化为方程根的分布问题再用导数的知识求解。探究过程：解设切点(x0，x30－x0)，∵y=x3－x∴y'=3x2－1，则过切点的切线方程为y-(x30-x0)=(3x20-1)(x-x0)又过点(a,b)则b-(x30-x0)=(3x20-1)(a-x0)化简整理得，2x30-3ax20+a+b=0由题意只要此方程有3个不同的实根设g(x0)=2x30-3ax20+a+b研究g(x0)的函数特征∵g(x0)=6x20-6ax0=6x0(x0-a)，∵a＞0则当x0∈(-∞，0)时，g'(x0)＞0，g(x0)递增当x0∈(0，a)时，g'(x0)＜0g(x0)递减当x0∈(a，+∞)时，g'(x0)＞0g(x0)递增∴g(x0)极大值=g(0)=a+b，g(x)极小值=g(a)=b+a－a3要使方程与x轴有3个不同交点则只有，即－a＜b＜f(a)如图(三)数学思想分析：本题和前面两题比较起来综合性强，字里行间表面上看不出是方程问题，这种隐藏的转化更需要学生长期的数学思想的启发和积累。本题最典型的数学思想是一种转化的思想。没有教师平时教学中善于分析研究渗透数学思想，学生是很难自主应用数学思想去分析解决问题。值得我们认真思考。通过本知识点的复习，我将此问题的一般思路总结为：1、由条件是否可将问题转化为方程问题2、利用导数研究方程所对应的函数特征，主要是单调性及极值与最值3、根据第2步画出函数草图，用数形结合的思想，判断根的分布或交点状况，此知识点集中体现了高中数学四个重要的数学思想即：函数方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类讨论的思想。有人说数学是思维的艺术体操。数学知识的内部蕴含着丰富的数学思想方法，数学知识成为数学思想方法的载体，数学思想方法通过数学知识来显化。笔者通本知识点的复习和探究对此有了更深刻的体会，在新课程改革浪潮中数学教师更应勇立潮头，勇于打破传统的教学模式，善于研究分析数学问题的实质，让学生自主探究数学思想方法，并应用这些方法，轻松快捷的解决数学问题。

同系列内容