中考数学应用问题建模方法的例析

中考数学应用问题建模方法的例析

黄世长

黄世长（福建省南安市第六中学福建南安362307）

摘要：数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。数学建模是运用数学知识来解决实际生活中的问题的一种比较重要的手段，是把数学知识与解题方法在实际问题中模型化，再运用模型的结果来解决实际问题，并接受实际的检验。是学与用的融合过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，体会数学来源于生活，数学应用于生活。

关键词：中考数学；数学模型；数学建模

中图分类号：G628.88文献标识码：A文章编号：1671-5691（2019）04-0138-01

数学建模是运用数学知识来解决实际生活中的问题的一种比较重要的手段，是把数学知识与解题方法在实际问题中模型化，再运用模型的结果来解决实际问题，并接受实际的检验。是学与用的融合过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，体会数学来源于生活，数学应用于生活。随着素质教育的推进，课程改革的展开，各地中考试卷大量涌现出联系实际，贴近生活，从学生已有的生活经验和现实情境出发，创造有一定实际意义的新题型，这要求学生必须具备一定数学建模的思想方法，以培养学生运用数学模型解决实际问题的能力。

下面从历年全国各地中考数学试卷中试题是如何构建数学模型，撷取几例，归类分析，供参考。

一、构建方程(组)模型

实际问题中的许多问题，存在着量与量之间的相等关系，我们可以通过建立方程序(组)，是研究现实生活问题最基本的数学模型，使问题得以解决。

例1、（2018?黄冈中考）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子.A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克.若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克？

【分析】订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克。根据B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元列出方程组，求解即可。【解略】

二、构建不等式(组)模型

实际生活中有一类问题，蕴含着量与量之间的不等关系，可通过建立不等式组，利用不等式的有关性质使问题得以解决。

例2：（2018?深圳中考）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.(1)第一批饮料进货单价多少元？(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？【分析】（1）略（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得。【解略】

三、构建函数模型

实际生活中的许多问题，隐含着变量与变量之间的相互制约关系，因此，可以通过对函数的研究，使问题得到解决。

例3：（2018?淮安中考）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件。

（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为____件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润。

【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答。【解略】

四、构建几何模型

实际生活中有许多运用性问题，可以建立几何模型，结合图形及题目的信息，运用三角函数的边角关系求解，可大大简化解题过程，使问题得以解决。

例4、（2018?长沙中考）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°。

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）

【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程。

五、构建统计模型

实际生活中有一类统计问题，常将实际问题转化为统计模型，利用相关的统计知识使问题得到解决。

例5、（2018?益阳中考）2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案与高校招生政策都将有重大变化。某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为A，B，C，D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图。请你根据图中提供的信息完成下列问题：（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；（2）求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数；（3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人？

【分析】（1）利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数&pide;所占比例，即可得出被调查学生的人数，由了解程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的学生数，再利用了解程度达到A等的学生数=被调查学生的人数-了解程度达到B等的学生数-了解程度达到C等的学生数-了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数，依此数据即可将条形统计图补充完整；

（2）根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数&pide;被调查学生的人数×360°，即可求出结论；

（3）利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例，即可得出结论。【解略】

总之，数学建模思想是中考数学应用题比较重要的一种解题思想，也是中考命题的趋势。要让考生在中考考试中实际问题题型的灵活准确地解答，就要求我们教师在平时课堂教学过程中培养学生善于分析问题，抓住问题的关键信息构建相应的数学模型，再结合数学知识解决实际问题从而激发学生对学数学的兴趣，提升创新意识，提高学生解决问题的能力，对于全面促进中学数学素质教育有重要的意义。