浅谈初中数学教学中反例的巧用

浅谈初中数学教学中反例的巧用

赵红英

南京市高淳县桠溪中学赵红英

数学课标将数学思维作为数学教学的一个重要分支纳入数学教学总体目标之中，这足以表明数学思维的重要性。数学教学中，为了证实一个命题是正确的，必须经过严格的逻辑推理，严密说理的过程；而要说明一个命题是不正确的，只要能举出反例即可。教师在教学过程中，恰当适时地构造反例，不仅能使学生全面地理解数学概念、法则、公式、定理等，同时还能培养学生的思维品质。

美国数学家盖尔鲍姆曾说过：“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类——证明与反例构成，而数学发现也是朝着两个主要目标：提出证明与构造反例。”

反例是与正例相对立的，是教学中不可缺少的认识对象，也是学生认知建构中常常出现的中间形态。我们不能单靠正面示范和反复练习去纠正去避免学生的错误。没有反例的衬托，正确的知识不易凸现，学生对知识的理解就不易到位。中学数学课堂教学中对于反例使用，贵在巧妙。只有巧妙使用，反例才能对学生的智力活动起到定向纠错、提炼升华的作用。

1.巧用反例，明晰概念。

概念是初中数学中最为基础的知识。教学概念时，不但要让学生弄清“是什么”，还要搞通“不是什么”。巧用典型、生动、直观的反例，对易于模糊的概念进行比较、辨析，才能形成清晰的认识。循环小数概念中的“依次不断，重复出现”这两个关键的词语缺一不可。帮助学生正确理解这两个关键词语，可以举出类似下面的反例：0.200820082008,3.14159265358979……。经过辨析学生认识到，第一个小数虽然“2008”重复出现，但并没有“依次不断”；第二个小数位虽然“依次不断”，但并没有“重复出现”一个或几个数字，因此都不是循环小数。通过这样的反例，往往可以加深学生对循环小数概念内涵的理解，使学生清晰知道“依次不断，重复出现”这两个条件必须同时满足。

2.巧用反例，深化理解。

我们知道，要证明一个命题正确，必须经过严密的推理证明，而要否定一个命题却只要能举出一个与结论矛盾的例子就行。在学习公式、定理时，有的学生常常不注意条件，在解题中常常出现错误。这时，教师可以借助反例使学生深入思考，避免解题时再犯同样的错误。例：

①有两边和其中一边的对角对应相等的两三角形全等吗？

②有三个角对应相等的两个三角形全等吗？

在教学三角形全等判定时，明确至少具有三个元素，对应相等的两三角形全等。我提出这一问题，因为学生对“边角边”判定三角形全等已理解，主观上提出此问大多数学生很难准确作出判断，这时教师可构造下面一个反例：由于学生对“夹角”条件没记牢，实际上由于在很多图形中，这个“夹角”是钝角或直角。学生很难发现错在哪儿，加深理解记忆的有效手段是构造一个反例。如图1。对于②，学生看到图2应该能领悟。

可见，在教学中适当举出反例，对帮助学生理解定理、概念、方法掌握有着良好的作用；同时也能提高学生的思维品质，学会遇到类似问题时举反例解题。正如数学家维奥拉说过：“反例可以检验你是否已经正确而深入地了解了数学的真谛，还可以锻炼你的智力，并将你的判断和推理严格地约束在一种秩序中。”

3.巧用反例，证明猜测。

例：1640年，法国数学家费尔玛发现，设Fn=22n＋1，则当n＝0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537都是素数。由于F5太大，他没有再进行验证就直接猜测，对于一切自然数n，Fn都是素数。此命题若直接验证很繁杂，但到1732年，欧拉举出反例，当n＝5时，F5＝2²⁵＋1＝429497297=641×6700417是合数，这样，便说明了费尔玛猜想不成立。常有这样的情况，一个数学家的重要猜想，用了很长时间不能证明猜想，若干年后，却有人举出反例否定这样的猜想，使得问题得到了解决。

因为学生平时接触的命题大都是真命题，学生最熟悉、习惯的是正向思维，易形成思维定势，尖子生的表现尤为明显，总是千方百计地希望将结论证明成立。往往反映出学生思维品质的缺失。实际上，无论在理论研究上还是实际生活中，假命题很多，正是由于对逆向思维要求较高，使得“反例题”的编写困难，题海中经典“反例题”难得一见。《课标》指出“体验数学活动充满着探索性和创造性”，反例教学有利于培养学生思维的严密性、灵活性、深刻性、批判性，对打破思维定势，弥补思维缺失、优化认知结构起着重要的作用。

对数学问题与数学猜想，给出严格证明和举出反例予以否定是同样重要的。在数学教学中，反例的作用可以推动数学向前发展，为数学的严谨性和科学性作出贡献。适当引用反例，能帮助学生加深对数学知识的理解和掌握，促进学生思维品质的发展。另外，举反例也是准确理解数学概念、法则、性质等知识的一条重要途径。一般来讲，教材叙述概念总是采用正面阐述的形式，而学生常常对一些概念的关键词缺乏深刻的认识，对概念所要求的条件理解不全面。教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了辨别的信息。