重积分在物理上的应用

重积分在物理上的应用

汪瑶瑶

江西工程学院 新余 338000

摘要：积分是高等数学中的知识，它主要用于计算有关变量的问题，比如曲边梯形的面积、曲顶柱体的体积等等。而在物理上时常有变速运动的物体运动路程，变力做功等问题，利用积分运算就能够帮助快速、有效的解决这样一类物理量的计算，本文仅讨论重积分的应用。

关键词：积分；物理；应用

The applications of multiple integral on physics

WANG Yaoyao

(Jiangxi College of Engineering, 338000, Xinyu)

Abstract: Integral, the knowledge of advanced mathematics, is mainly used to solve some issues involve variate, such as the area of trapezoid with curve side , the volume of prismatic with curve side and so on. There are some problems about variable motion and inotropic action on physics. The integrated computation could help solving those physical quantity quickly and effectively, the paper only discussed the applications on physics.

Key words: integral; physics; applications

1 引言

重积分是在学习了一重积分即定积分的基础上对积分的进一步研究、推广，函数在某个闭区间 上的定积分代表的几何意义是，若在此区间上为非负函数，则表示曲线与两直线 和 所围成的面积；若在此区间上函数小于或等于零，则表示所围面积的负值。[1]定积分在物理学上的应用很广泛，利用定积分可以计算做变速直线运动的物体在一段时间内经过的路程、变力沿直线所做的功、压强变化下的水压力以及一根均匀细棒对一个质点的引力。这里先简单介绍二重积分。

设二元函数 是在有界闭区域 上的有界函数，将此闭区域任意划分成 个小闭区域， 表示第 个小闭区域，也用它表示这个小区域的面积。在小区域上任取一点 ，相对应的函数值与面积做乘积 ，再作和，可得一个特殊的和式，不论将区域如何划分及点 如何取，当所有小区域中直径的最大值趋于零时，和式的极限都存在，那么称这个极限值为该二元函数在界闭区域 上的二重积分。若二元函数非负，则二重积分的几何意义就是所描述的曲顶柱体的体积。相应地，可以将二重积分的概念推广到三重积分、四重积分等等。重积分不仅广泛应用在几何学中，在物理、力学和工程技术等领域也具有重要作用。[2-4]接下来，就重积分在物理上的应用举例。

2 重积分在物理上的应用举例

2.1平面薄片的质量

设一平面薄片占有坐标面 上的闭区域 ，它的面密度为 ，密度函数大于零且在闭区域上连续，现在来计算该平面薄片的质量。

如果薄片均匀，即密度函数为常数，则可以利用质量等于面密度乘以面积公式直接计算得到。但薄片不均匀，即密度函数为变量，就不能直接利用上述公式计算，这里就需要运用到重积分的知识。首先将薄片分成 个小块，当每个小块所占的小闭区域 足够小，也即闭区域的直径很小时，每个小块都可近似的看成均匀薄片，在小闭区域上任取一点再利用公式可得第 个小块质量的近似值 ，将这 个质量相加、取极限，便可得到该平面薄片的质量，根据重积分的定义它就等于密度函数在闭区域 上的二重积分，再利用重积分的计算方法就可以计算出它的质量。

已知密度，利用重积分求其质量在物理上是非常基础且重要的一个应用。因为很多物理量都与质量有关，比如质心，转动惯量等。

2.2引力

设某物体占有空间有界闭区域 ，它的密度为 ，在闭区域上连续，现求该物体对于物体外一点 处单位质量的质点的引力。

我们知道两质点间的引力公式是 ， ， 分别表示两质点的质量， 表示质点间的距离。在这题中求的是空间物体对一质点的引力，首先需要将物体所在的区域分割成 个，先单独研究其中的一个小闭区域设为 ，也用它表示这个区域的体积。当区域直径足够小，就可以将这个小块物体的质量 近似看做集中在这小闭区域上的某一点 处，再利用引力公式就可以得到这一小块物体对单位质点的引力近似值，但是引力是矢量不能直接相加，所以需要对引力沿坐标轴进行分解，最终可得物体对单位质点的引力为 , 就是这 个质点对单位质点在 轴上的引力分量和的极限，即

，同理 ， 。

3 小结

本文主要从物理学的角度出发，简单介绍了重积分在物理上的应用。掌握好重积分的概念与计算，可以解决很多有关变量的问题。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学第七版.高等教育出版社,2014,7.

[2]李立真.定积分在物理中的简单应用.学周刊,2015,7.

[3]霍龙龙.试论定积分在物理及其他领域的应用.山东工业技术,2019,5.

[4]陈高举.关于定积分在物理和经济学中的应用探讨.企业导报,2013,5.

作者简介：汪瑶瑶（1993-），女，硕士研究生.

1319397655@qq.com；18679428037