关于积分型压缩映射的不动点理论研究

王梓萌，王瀚萱，陈紫薇

沈阳师范大学 辽宁沈阳 110000

摘要：非线性分析中的不动点理论广泛应用于运筹学、经济学等领域，在动态规划、随机算子等方面有着非常大的应用和推广前景。本文针对积分型压缩映射的单值映射定和集值映射定理的约束条件和发展递进过程进行了阐述和分析，发现用于单值映射定理的相关约束条件以集合的形式出现在集值映射定理中，依然能够满足不动点的存在性和唯一性。通过单值和集值映射定理的相关性和递进性分析，以期为后续不动点理论的拓展研究和推广应用提供借鉴。

1、引言

在非线性分析中，不动点理论是其中最重要的分支之一，广泛涉及到运筹学、控制理论、经济学等众多学科，是大数据预测、优化等众多领域的重要基础。其中在压缩映射理论方面，Banach提出的相关理论是该领域最基本的结构之一，其理论的变形、拓展和推广一直是众多学者争相研究的热点之一^[1-6]。因此本文针对Banach理论中的相关定理进行了总结，以期为不动点相关理论的分析研究提供借鉴。

2、基本定理及其相关性分析

2.1 单值映射定理

在2-度量空间里，定理2.1.1首先给出了积分型单值映射定理的基本概念，阐述了公共不动点的存在和唯一性；在定理2.1.1的基础上，进一步拓展增加相关条件，定理2.1.2和定理2.1.3阐述了不同约束下的单值映射定理和公共不动点的存在性和唯一性。

定理2.1.1

设 是一个2-度量空间，d在X上连续，映射 满足下述条件：

（E1） 且 ；

（E2）映射对 和 弱相容；

（E3） 之一是X的完备子集，并且满足下列约束条件

， （1）

其中 ，同时满足下述方程（2）：

（2）

那么 有唯一一个公共不动点 。

定理2.1.2

在定理2.1的基础上增加紧性条件，确定不动点的唯一性和存在性：

（3）

式中 ，那么 由唯一一个公共不动点 。

定理2.1.3

设 是一个2-度量空间，d在X上连续，映射 满足（E1）、（E2）和（E4）：

（E4） 或 是连续的，并且满足方程（4）：

（4）

式中： ，并且满足方程（5）：

（5）

那么 由唯一一个公共不动点 。

2.2 集值映射定理

与小节2.1相似，在本小节中，阐述了四个单值 在集值条件下的相关定理，将四个单值转变为两个集值，提出了公共不动点存在性和唯一性的相关条件。

定理2.2.1

设 是一个2-度量空间， 在X上连续，映射 、 满足（E5）~（E7）：

（E5） 且 ；

（E6）上述两个映射对 和 均弱相容；

（E7） 和 其中之一是X的完备子集，并且满足方程（6）：

（6）

上式中， ，并且满足方程（7）：

（7）

那么，存在唯一 满足方程 。

定理2.3.2

在满足定理2.3.2的基础上，满足方程（8）：

（8）

上式中，

那么存在唯一 满足方程 。

定理2.3.3

设 是一个2-度量空间， 在X上连续，映射 、 满足（E5）、（E6）和（E8）：

（E8） 或 是连续的，并且满足方程（9）：

（9）

式中： ，那么 由唯一一个公共不动点 。

除在上文中着重描述的2-度量空间里单值映射定理和集值映射定理外，如F-型压缩型映射的相关研究也得到了广泛的关注，袁月^[4]组合了Barnciari和Wardowski的思想，分别提出了关于单值和集值的积分型F-压缩映射，并在多种不同条件约束下空间不动点的存在性和唯一性。而在集值映射定理的研究中，广义集值的应用研究也得到了极大的推广^[5]。在本文中，着重探讨的是在2-度量空间里不动点的相关理论，而在G-度量空间内的不动点定理的拓展证明极大地拓展了公共不动点定理在积分方程组中的应用，尤其是在在动态规划中产生的泛函方程组和积分方程组中的应用，解决了其有界公函方程组中共解的存在性和唯一性，与Suzuki型公共不动点定理取得了很好的一致性^[6]。事实上，对Banach提出的基本的不动点理论的拓展研究，无论是在维度上（由2-度量到G-度量）、空间上（由单值到集值再到广义集值）都有了极大的提高和改善，这对与数学相关的领域研究起到了极大的推动作用。

3、结论与展望

从上述定理的描述可以看出，单值映射定理与集值映射定理相比，其约束条件的形式和递进有相似性，在对单值进行压缩集合的同时，约束条件也相应地满足集合的表达形式。当然，得到的这些不动点结果被成功的应用到了泛函方程解的存在性和唯一性、非线性积分和微分方程，动态规划和随机算子理论等问题当中。集值压缩映射的结果还被应用到最优化问题、控制理论和经济学等中去，单值映射定理和集值映射定理的研究成果有着十分重要的意义。

参考文献

[1] Gahler S. 2 - metrische Raume and ihr topologidche [J]. Strktur Mathematische Nachrichten, 1963, 26: 115-148.

[2] Iseki K. Fixed point theorems in 2-metric spaces. Mathematics seminar notes [J]. Kobe University, 1975, 3: 133-136.

[3] Miczko A, Palczewski B. Common fixed points of contractive type mappings in a 2 - metri space [J]. Mathematische Nachrichten, 1985, 124: 341-355.

[4] 袁月.关于积分型F-压缩映射的不动点定理[D].辽宁大连：辽宁师范大学，2017.

[5] 赵晓朦.积分型压缩映射对于广义集值压缩映射的不动点定理及应用[D]. 辽宁大连：辽宁师范大学，2018.

作者信息：王梓萌，性别：女，出生：1999.02，单位：沈阳师范大学，邮箱：1102085576@qq.com