深挖教材内容，提升核心素养——以二次函数的图像和性质复习课为例

深挖教材内容，提升核心素养——以二次函数的图像和性质复习课为例

陈园

四川省广安第二中学校 四川 广安 638000

摘要：好的复习课应能对知识点进行有效梳理，又能让学生在复习课上获得新的理解，从而使学生能够深度学习，实现提升学生核心素养的目标。深挖教材，挖掘已知知识之间的内在联系，多角度的认识知识，助力学生思维发展。以二次函数的图像与性质的复习课为例，从图形运动的角度再认识图像与性质，借助代数中整体代换的技巧，获得变化后的二次函数图像的解析式。

关键词：图像平移；整体代换；提升素养

1 课前分析

人教版数学九年级教材第二十二章第一节，从生活中的一些问题出发，引入了二次函数的形式定义即:形如 的函数为二次函数，接着探究了 ， 这几类二次函数的图像和性质。对这几小节的内容，若深挖教材，用知识间的内在联系进行复习梳理，可以实现对知识的再理解，为思维延伸出新的触角。

2 教学过程设计

环节1 以基础知识巩固通性通法

问题1：你能画出 的图像吗？开口方向是什么？该函数的顶点坐标，对称轴，函数的增减性如何？

图一

活动预设：学生能较快速回顾描点法的步骤，画出该函数的图像，观察图像获知图像的基本性质。

教学说明：描点法是画出函数大致图像的重要方法。函数的开口方向，对称轴，顶点，和增减性是二次函数性质的重要内容。选择形式最为简单的二次函数，可降低计算难度，既巩固了基础，又提高了课堂的效率。

环节2 以图形运动角度构建知识内在联系

问题2:将图一中的函数图像向上平移5个单位，得到的新函数的解析式是什么？它与原函数相比，有哪些性质发生了变化？

引导思考：学生根据学习活动经验可知，平移得到的新函数的解析式为 。通常把最后得到的解析式中的自变量和函数仍延用 来表示，这里为了便于区别，用不同的符号来表示新的函数。教师引导学生用换元法证明, 原函数图像上的任意一点 向上平移5个单位后得到的坐标设为 ，根据点的平移特点，可知两点之间存在关系： ， ，利用整体代换，可得 ，整理得到 .

教学说明：教材中先给出平移后的解析式，通过描点法画出图像，得出二次函数图像的平移特点。复习课中，我们挖掘知识间的联系，借助代数的方法完善理论上的证明，使同学们再理解图形平移以及图像上任意一点满足函数解析式的特点。

问题3:类比问题2中的方法，现在分成小组，独立思考再交流，图像向左平移1个，向下平移3个单位得到的函数解析式是什么？

_引导思考:在教师引导下解出解析式

图二 图三

为得到更具有一般意义的结论，设函数图像向右平移了k个单位，向上平移了b个单位，可知 ，得到顶点式 。由平移方式知，该函数图像的性质。

教学说明：让同学们体会从特殊到一般的数学思想。

环节3 以代数变形搭建知识桥梁，感悟化归思想

问题4，画出二次函数 的函数图像

活动预设：教师强调一元二次方程中的配方与此处配方的异同。

教学说明：对一般的一元二次三项式进行代数变形的方向主要有两个即：

通过配方可将一个一般的二次函数化为顶点式，转化为已知的函数。这样一般的二次函数的图像性质就清楚了。此处借助代数恒等变形，将未知转化为已知，将一般式转化为顶点式 化规思想不言而喻。

_{如果一个二次函数在实数范围内可以进行因式分解，得到的函数形如}

称二次函数的交点式。这里不妨留下疑问，交点式可以反映出二次函数的哪些特点？为下一节课的内容设疑，激发学生的学习兴趣。

环节4 应用巩固，加深理解

利用对称变化求二次函数解析式

已知二次函数 ，给出满足下列条件的函数的解析式。

(1)若一函数与已知函数图像关于 轴对称，求这个二次函数的解析式?

(2)若一函数与已知函数图像关于直线 对称，求这个二次函数的解析式？

引导思考：肯定学生通过将原函数化为顶点式来求解。也鼓励学生用代数的方法。先找到图形运动前后两点之间的关系，原图像的任意一点 ，设该点与 轴对称的点的坐标为 ,则两点之间的关系为 ， ，整理得 。对第二问类似处理可得 。

教学总结

将几类二次函数的图像，用图像平移运动的角度串联起来，不仅使原有知识得以巩固，也使得学生更深刻的认识到宏观的图像平移与局部的点的平移方式保持一致，体会从宏观视角到局部的视角研究问题的方式，另一方面，内容的有效组织，使逻辑上更为紧密，使同学们对二次函数的认识更具有整体性和深刻性。此外，伴随结论教师不断的追问，促进学生对已知知识的再思考再理解，可以发展学生的批判性思维，为深化思维提供了方向。在新课标和高考评价体系的指引下，以高考为代表的大规模中国数学考试命题正在发生从能力立意到素养导向的重要转变^[1] 。以深度学习促进核心素养的培养，以知识内在联系激发学生学习数学的热情，同时促使教师深入理解并实践数学素养的培育，使数学素养在教学中落地生花

^[2]。

参考文献：

[1] 任子朝.从能力立意到素养导向[J]. 中学数学教学参考（上旬），2018(5):1.

[2] 刘海龙，满启浩. 素养导向的初中数学考试命题刍议[J]. 中学数学教学参考（中旬），2020(9):54-57.