“正弦函数、余弦函数的性质”教学设计

“正弦函数、余弦函数的性质”教学设计

刘华琦

浙江省浦江县第三中学 浙江 金华 322200

一、内容和内容解析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第二课时。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

二、目标解析

①利用正弦函数和余弦函数的图象，我采用课件的形式把这一探究过程展示出来。让学生依据图象大致判断这两种函数的单调性和最大最小值，并结合图象特征进行判断，找出解决单调性和最值问题的方法，激发学生的求知欲和探索欲。

②从回忆第三章函数性质知识中的单调性和最值问题，再到正弦函数和余弦函数的图象知识这一过程，鼓励学生独立探索和讨论交流这两个函数的单调性和最值。在学生思维的困惑处，教师作简要提示。

三、教学问题诊断分析

1、学生初次从正弦函数和余弦函数图象来研究性质，会感到不适应和无从下手。采用类比的方法，从正余弦函数图象入手让学生思维过渡自然。而且通过回忆和应用也巩固了知识，思路逐渐清晰。

2、如何推导函数的单调性？我采用：一是抓住正弦函数和余弦函数的图象仔细观察和研究，二是联系数学已有已学知识来处理正余弦函数的单调性问题。我采用让学生仔细观察正余弦函数图象和结构特征，联系回忆所学知识，努力使数学知识显得熟练、流畅．

3、对正余弦函数的最值的探究过程，少数基础薄弱的学生做不来。这个我的处理是，第一让他们做好比较充分的前面知识的复习，第二是在所有学生独立探究这个内容时，我走到学生中去，对基础差的学生作指导。

四、教学过程设计

(1)联系旧知，自然过渡：

问题一：类比以往对函数性质的研究，我们除了研究正弦函数、余弦函数的周期性，奇偶性性质外还有那些函数性质可以研究？你能从观察它们的图象中找出来么？

生：根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．

问题二：你能发现它们具有哪些性质？

2. 数形结合，探求新知：

生
：观察图 5.4-8，可以看到 ：当 由 增大到 时 ， 曲线逐渐上升 ， 的值由-1增大到1；当 由 增大到 时，曲线逐渐下降 ， 的值由 1减小到 -1．

师：观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，由于正弦函数是周期函数， 我们可以先在它的一个周期的区间（如 ）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域 ．

的值的变化情况如表 5.4.2所示 ：
就是说，正弦函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调

递减，有正弦函数的周期性可得；
正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增 ,其值从-1 增大到

1 ;在每一个闭区间 上都单调递减 ,其值从 1减小到-1．

（3）新知学习，类比掌握

问题三：类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 ） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3

由此可得，余弦函数 ,在区间 上单调递增，其值从-1增大到1；上单调递增，在区间 上单调递减，其值从1减小到-1.

由余弦函数的周期性可得余弦函数在每一个闭区间 ,上都单调递增，其值从-1 增大到 1；在每一个闭区间 , 上都单调递减，其值从 1减小到 -1．

问题四：类似地 ，观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 ） 上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入下面。

从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，正弦函数当且仅当

x＝ 时,取得最大值１，当且仅当x＝ 时,取得最小值－１；余弦函数当且仅当 　时,取得最大值１，当且仅当 时,取得最小值 ．

（4）例题解答，透彻理解

例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
；

分析：通常可以利用三角函数的最值性，通过代数变形，得出等式的最值和求出相应的 的集合．对于（2），要注意 对最值的影响。

例4. 不通过求值，指出下列各式的大小：

；

分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．

例5.求函数 的单调递增区间．

分析：令 当自变量 的值增大时， 的值也随之增大，因此若函数

在某个区间上单调递增 ， 则 在相应的区间上也一定单调递增 ．

生：小组讨论，合作探究

师生：归纳总结求函数的单调区间：

（5）小结与作业：

①知识：正弦函数和余弦函数的单调性问题和最值问题。

②方法：类比和数形结合。

③应用：正余弦函数单调性和最值知识学习和归纳以及解决简单的应用问题。

作业：①目标检测；②预习5.4.3正弦函数、余弦函数的性

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