二阶常系数非齐次线性微分方程求解教学探讨

二阶常系数非齐次线性微分方程求解教学探讨

董秀芳

江苏财会职业技术学院    江苏连云港  222000

摘要：从二阶常系数非齐次线性微分方程的求解案例出发，通过所处的不同角度，给出三种方法的优缺点进行分析，以此对高数二阶常系数线性非齐次微分方程教学进行了错略探讨。

关键词：常系数；非齐次；线性微分方程；通解

在我们的日常生活中，经常会用微分方程来研究实际问题，比如减肥问题、人口增长问题、考古学中古文物的年代确定和名画真伪的辨别问题、刑事案件中死亡时间的鉴定问题、经济学中预测商品的销售量、关于国民收入和储蓄与投资的关系问题等。总之，微分方程的应用已经渗透到社会生活中的方方面面，所以微分方程的教学在高等数学的教学中有着举足轻重的作用，但同时微分方程的求解也是教学难点。尤其是二阶常系数非齐次线性微分方程的求解更是教学中的难点。

求解二阶常系数线性微分方程，比较常用的是待定系数法和常数变易法，为了丰富二阶常系数线性方程的解决办法，本文对其他求解方法进行了一些探索，例举了一些求解实例，

   对二阶常系数非齐次线性微分方程，其中均为常数，（1）

现行的高等数学教材中大部分都是根据通解的结构和自由项形式来求解二阶常系数线性微

分方程．

I多项式法

可以把该方程看成二阶常系数非齐次线性微分方程型，

例：求通解

解：第一步，先求对应齐次方程 的通解.

其特征方程为有两个实根 ，于是所给方程对应的齐次方程的通解为

第二步，求原方程 的一个特解，根据经验，多项式求导仍为多项式，且次数降低一次.由于符号右边是为一次多项式型，为了保证等号两边相等，所以等号左边求导以后也是一次多项式，即也应是一次多项式，故可设特解为二次多项式，即，带入原方程得，即，由待定系数法，故特解为，于是原方程的通解为.

II基础求解法

即: 方程(1) 通解具有此形式:其中: 为方程（1）对应的齐次线性微分方程的通解，为方程（1）自身的一个特解.

设方程（2)特征方程的两根分别为，则：

时，

时

，

再根据自由项即

与

例：求通解

解：第一步，先求对应齐次方程 的通解.

其特征方程为有两个实根 ，于是所给方程对应的齐次方程的通解为

由于这里是特征方程的单根，所以应设特解代入原方程

得故特解为

于是所给方程对应的齐次方程的通解为

III降阶法

  可以把该方程看成可降阶的二级常系微分方程型，设，则原方程化为，

而此方程为一阶线性非齐次微风方程，根据公式得

通解为

故原方程的通解为

综上所述，对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效，各种方法各有优缺点，这就要求我们在实际教学中因地制宜，根据教学内容、学生特点，总结出一些适合学生的教学方法，提高教学效果.

参考文献

［1］同济大学应用数学系高等数学下册［M］北京：高等教育

出版社，2003：286-291，311-313．

［2］朱长青，王红．微积分［M］．北京：科学出版社，2018：158-160，

163-166．

［3］王高雄．常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．

希望对求解二阶常系数线性微分方程有所帮助。常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，