山东省淄博市张店区第七中学255000
我们已经学习过“两点的所有连线中，线段最短”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题。如何将我们生活中的实际问题转化为类似的数学问题？学生如何在亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，并且有效地说理？
问题1：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次（如屏幕），问将军怎样走路程最短？依据是什么？
数学模型1：如图，点A、B分别是直线L（河）异侧的两个点，在直线L上找到一点C，使得CA+CB的值最小。
问题3：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
实际应用4：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C(0,-2)。
（1）求这条抛物线的函数表达式。
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小。请求出点P的坐标。
分析：
（1）根据抛物线对称轴得到关于a、b的一个方程，再把点A、C的坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出a、b、c的值，即可得解。
（2）根据利用轴对称确定最短路线的问题，连接AC交对称轴于点P，则点P就是所求的使得△PBC的周长最小的点。然后利用待定系数法求一次函数解析式，求出直线AC的解析式，再把x=-1代入直线解析式，求出y的值，即可得到点P的坐标。
（1）∵抛物线的对称轴为x=-1，经过点A（-3，0）、C
（0，-2），∴∴抛物线解析
式为y=x2+x-2。
（2）如图，连接AC，交抛物线对称轴于点P，则点P就是所求的使得△PBC的周长最小的点。设直线AC的解析式为y=kx+m（k≠0）,∵A（-3，0），C（0，-2），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为：
y=-x-2。当x=-1时，
y=-x（-1)-2=-，
∴点P的坐标为(-1，-）。
通过对最短路径问题的分析，发现所有的数学问题都可以追根溯源，其数学本质是相同的，都体现出“两点之间，线段最短”，只要在分析过程中不断地进行转化，就可以得到合理的结果。
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