浅谈平面几何反证法的教学

浅谈平面几何反证法的教学

王志林

王志林

（扬州市江都区第二中学，江苏扬州225200）

反证法是一种不常见但很重要的证明方法。苏科版九年级数学教材中开始介绍反证法这一种间接的证明方法。搞好平面几何反证法教学，对进一步发展学生的逻辑思维能力有较大的帮助对于高中立体几何学习和大学数学的学习都有重要的作用。

一、举例反证法的应用

初中学生初次接触反证法，对如何判定哪些题目可用反证法往往感到困难。在教学中把适用反证法的题目大致归纳为三类：

1.题目所涉及的知识范围较小，所能用到的定义、公理定理较少

例1：如图，已知a∥b,b∥c。

求证：a∥b。

证明：假设a与b不平行，则a与b相交，不妨设a与b的交点为P，那么，过直线c外的一点P有两条直线a和b与直线c平行，这与平行公理矛盾。故假设错误。

因此a∥b。

2.题目的结论以否定的形式出现

例2：如图，已知AB和CD是圆的非直径的两条弦。

求证:AB和CD不能互相平分。

证明:假设AB、CD互相平分于P，连接OP，有垂径定理，可得：OP⊥AB、OP⊥CD。

那么，过OP上一点P可作两条OP的垂线，这与“过已知直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的定理相矛盾，所以假设错误。

故AB、CD不互相平分。

3.题目的条件较少，但题目的结论的反面假设多于条件

例3：已知四边形ABCD中，AB+CD=AD+BC。

求证：四边形ABCD外切于一个圆。

证明：显然可作一个与AB、BC、AD三边都相切的⊙O，假定CD与⊙O不相切，则有两种情况。

（1）若CD与⊙O相离,则过C可作CD′相切于圆O且交AD于D′，则有：AB+CD′=BC+AD′,又题设AB+CD=BC+AD，所以CD-CD′=AD-AD′=DD′，这与在△DD′C中CD-CD′<DD′相矛盾。

（2）若CD与⊙O相交，则过点C作CD′相切于⊙O且交AD延长线于D′，则有：AB+CD′=BC+AD′，

又题设：AB+CD=BC+AD，所以CD′-CD=AD′-AD=DD′，这与在△DD′C中CD′-CD<DD′相矛盾。

因此假设错误，所以CD与⊙O相切，故证得四边形ABCD外切于⊙O。

二、反证法的理论依据

1.反证法的基本概念

反证法是指“证明某个命题时，现假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。

反证法的原理是：假设命题不真，也就是说，我们附加一个与要证明的结论完全相反的假设条件（反正假设）到已知条件中去，利用一系列的推理，得到矛盾的结论（与已知条件矛盾，与已证明过的数学命题矛盾，与刚提出的反证假设矛盾，或是导出两个自相矛盾的结论），依据排中律，附加的条件不真，从而，证得原命题成立。

反证法的基本思想是：将否定结论作为条件就会导致矛盾。这种基本思想可以用下面的公式来表示:“否定—推理—矛盾—肯定”。

“否定”—假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立。即首先否定结论。

“推论”—从原条件和新作的假设出发，引用一系列的论据进行推理。

“矛盾”—通过推理，导致矛盾，即得出与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛盾的结果。

“肯定”—由于推理过程正确，矛盾产生的原因是由假设所引起，因此假设是错的，从而肯定原结论的正确。

2.反证法的一般步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：（1）假设原命题的结论不成立；（2）从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。

即：提出假设，推出矛盾。