学生解题严密性受阻浅析

学生解题严密性受阻浅析

徐其学

关键词：数学教学实践；逻辑思维能力；素质

作者简介：徐其学，任教于浙江省宁波市镇海区蛟川书院。

数学能使人思维严密，考虑问题全面、周密而不遗漏。作为数学教师在数学实践中，应遵循数学教学规律，把握数学学科特点，培养学生严密的逻辑思维能力，准确的推理判断能力，才能全面提高学生素质。

在具体指导学生解题时，要求学生周密地考虑题目所提出的全部问题，一览无遗地解出全部结果；不合题意的解应当舍去；含有参数的应根据它的不同取值范围分别作出讨论；有些题目无解，应说明理由等等。这些都是解数学题必须遵循的一些基本原则。而许多学生解题时，缺乏严密的思考，添三漏四或画蛇添足，解题不严密，中考时失分率高。所以，加强对学生解题严密性受阻的原因研究很有必要。

一、片面理解数学概念，没有弄清它的内涵和外延

数学概念是严密的，它是判断、推理的基础，也是数学运算和论证的基础，学生在数学运算和论证方面出错，多是因对概念的理解不全面，没有真正对它的内涵和外延理解透彻，极易造成解题不严密。

这里学生曲解了“同类项”这个概念，因为同类项只有在整式的范畴里定义，故只能有一解xy=2。

二、只注重应用定理、定义、公式、法则，忽视它们成立的条件

一个数学定理、定义、公式、法则总是在一定条件下成立，往往有些学生在解题时，极易忽视它们成立的条件，造成解题不严密。

例3：若函数是反比例函数，求m的值。

错解：由题意知m2-m-7=-1，m1=-2，m2=3，∴m=-2或3。这里忽视反比例函数定义y=成立的条件k≠0，当m=-2时，k=2m+4=0,故m=-2舍会，∴m=3。

例4：若方程m2x2-(2m-3)x+1=0有两个实根，求m的取值范围。

错解：△=〔-（2m-3)〕2-4m2=-12m+9≥0，∴m=

因为此题方程有两个实根，故必为一元二次方程，而定义中二次项系数a≠0，应考虑m2≠0,

∴m≠0

三、只考虑一般情况，忽视特殊情况

许多题目在一般情况下有解，在特殊情况下解仍然存在，而有些学生在解题时，往往忽视了特殊情况，导致解题不严密。

例5：求证：k无论取何值，关于x的方程(k-3)x2+kx+1=0必有实数根。

错解：∵△=k2-4(k-3)=k2-4k+12=(k+2)2+8>0，∴原方程有实数根。

此解法似乎无懈可击，殊不知，它忽视了一种特殊情况。若k-3=0，它是一元一次方程，3x-1=0仍然有解x=，所以应将其补充完整，才是严密的解题过程。

例6：判断正误：平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。

许多学生误认为是正确的，不妨看下面图形，弦CD过圆心，直径AB随意画都满足条件平分弦CD，但AB不一定与CD垂直。这里忽视了圆中的特殊弦（直径），导致误判而失分。

四、只注重题目中已知条件，忽视了隐含条件

从某种意义上讲，解数学题就是充分利用已知条件，更多的是隐含条件进行推理或运算的过程，所以，充分挖掘隐含条件进行推理或运算的过程，得出精解、完整的结论，问题就可迎刃而解。

例7：已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0的两实根互为倒数，求k的值。

误解：∵x1x2==1，∴k=±1

此题只从表面上看，两根互为倒数，得出k的值，但忽视了隐含条件△>0，由△>0得出k<，

∴k=1舍去，∴k=-1

五、只注重充分条件，忽视必要条件

一个命题具有充分而非必要条件时，则它的逆命题为假，而有些学生在解题时，往往把充分条件看作充要条件来用，导致解题不严密。

例8：关于x的方程x2-11x+30+a=0的两个实数根均大于5，求a的取值范围。

错解：设x1,x2是方程两根，则x1+x2=11>0,x1x2=30+a>25，∴a>-5，又∵△=112-4(30+a)≥0，得A≤1/4，-5<a≤

此解法只考虑x1>5，x2>5是结论，x1x2>25的充分条件，但反过来x1x2>25未必能保证x1>5，x2>5，它不是题设的必要条件，应当找出两根都大于5的充要条件：△≥0，(x1-5)(x2-5)>0,(x1-5)+(x2-5)>0,(x1-5)+(x2-5)>0，从而得出正确答案0<a<。

六、只注重数学意义，忽视实际意义

在研究实际问题时，可把它转化为数学问题，而通过数学运算或推理得出多个解。在符合数学意义的解中，若与实际情况相违背，则把此解舍去，而有些学生往往只注重了数学意义，把实际意义忽视了，导致解题不严密。

例9：某礼堂共有25排座位，第一排20个座位，后面每排比前一排多一个座位，写出每排座位数m与这排的排数n的函数关系式，并求出自变量n的取值范围。

错把n的取值范围写出n>0，实际上n是表示排数只能取整数，∴1≤n≤25的整数，才是正确答案。

七、“默认”条件，导致解题不严密

由于解题的需要，学生往往在解题过程中，自觉或不自觉地添加条件。本来这些条件是完全可能通过已知推理或运算得出来的，而没有经过论证或运算却默认了，在解题中直接应用，从而导致解题不严密。

例10：如图AB是直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点CD在圆上，∠CAB=30°，求证DC是⊙O的切线。

连结OC、BC后，需证OC⊥BD，学生极易忽视证明BC=OB=BD，由于图形的直观性而考生已经默认了“BC=OD”这个结论，从而导致解题不严密。

八、题目有多种情况，忽视分情况解答

有些题目，根据题意在画图时有两种或两种以上情况，而学生往往只考虑一种情况去解答。

例11：在半径为5cm⊙O中，弦AB=8cm，CD=6cm且AB∥CD，求两弦之间的距离。

有些学生在画图时，只画一种情况：弦AB、CD在圆心O的两侧，由垂径定理，勾股定理算得两弦的弦心距分别是3cm，4cm，故两弦之间距离等于7cm。

此解法忽视了另一种情况，圆心在两弦两侧，此时两弦的距离为4-3=1cm

再例：甲乙两车同时分别从相距180千米的A、B两地相向出发，已知甲速70千米/时，乙速60千米/时。问经过多少小时，两车相距50千米？

学生往往只列一种情况的方程（70+60）x=180-50，还有一种情况很容易被忽视，即相遇后，甲、乙继续前进若干小时，又一次相距50千米，∴（70+60）x=180+50。

像这样多种情况的数学题目很多，也是学生常出现错误的一大类题型，所以，教师在教学实践中要加强对一题多解、一题多变、一题多种情况的训练，培养发散思维及严谨思维的能力，逐步提高学生解题的严密性。

作者单位：浙江省宁波市镇海区蛟川书院

邮政编码：315201