浙江绍兴县马鞍镇中心小学杨锋
在教学最简真分数时我碰到这样两道题：分母是7的所有最简真分数的和是
（）；分母是12的所有最简真分数的和是（）。运用列举法容易得出答案分别是3和2。解完题后，我突然产生这样两个想法：是不是分母为大于2的整数的所有最简真分数的和一定是一个整数呢？如果分母的数值很大，怎样才能快速求出相同分母的所有最简真分数的和呢？
由于分母是大于2的整数，因此可以将分母分为两种情况，即分母是质数或合数。
1、假设分母为m（m>2且m为质数），则分子为1，2，3，4，……m－1。这些最简真分数的和为：，因为m是质数且m>2，则m一定是奇数，所以一定是整数。
2、假设分母为m（m>2且m为合数），则一定都是最简真分数，而=1。假使在之间还有为最简真分数（n是1到m－1之间的任意整数），则=也为最简真分数。又因为为整数，所以无论在之间有多少个最简真分数，它们的和一定是整数。
如果分母的数值很大，怎样才能快速求出相同分母的所有最简真分数的和呢？这里也分两种情况：假设分母为m（m>2且m为质数），那所有最简真分数的和为；假设分母为m（m>2且m为合数），首先应该求出分母是m的最简真分数的个数。以分母是100为例，由于100=2×2×5×5，所以比100小且与100互质的自然数一共有=40（个）。因为与100互质的数有对称性，即1与100互质，（100－1）与100也必定互质。又由于对称的两个最简真分数的和是1，所以分母是100的所有最简真分数的和为。将此法推广到任意合数m（m>2），先将m分解质因数，即m=Aa×Bb×Cc×……×Nn（这里A，B，C，……N都不相等，a,b,c……n为整数，且可以是同一个数），则分母是m的所有最简真分数的和为：
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