浅谈类比在解题教学中的应用

浅谈类比在解题教学中的应用

程建辉

河南省实验中学程建辉

现代数学素质教育要求大力提高学生的数学修养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题．中学数学课程设置，从平面几何到立体几何，从方程到不等式到函数，从圆到二次曲线等问题的研究过程中，无不体现类比这种数学思想方法．在教与学的过程中，我们也深刻体会到类比思维是一种极富创造性的思维方法，是提出假说进行猜想的基础，是各种创造思维的源泉．为了更全面深入地掌握这种思维方法，我们将进一步阐述类比的含义，类型以及在数学教学中的应用．

一、类比的含义及类型

类比是从特殊到特殊的推理，是根据两对象都具有一些相同或相似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一属性，从而推出另一对象也具有与该属性相同或相似的属性，其基础是对象与对象之间有某些相同或类似的性质．运用类比推理来启发所研究的对象具有某种关系或属性的方法称为类比法．

类比是以比较为基础，通过对两个（或两类）不同的对象进行比较，找出相似点和近似程度，依此为依据，把其中一对象的性质推移到另一对象中去（猜想），然后通过实验或推理肯定或否定．

类比有两种形态：一种是纵比较.例如一件事物在不同发展阶段变化情况的比较；另一种是横比较．例如为解决同一事物而设计的不同方法的比较．在数学教学中，对同类问题进行纵横比较分析会加深对问题的理解和认知，所以经常借助类比利用教材或学生认知结构中已有的概念、定理、题型、规律去探求新的知识．

按照类比在教学中的应用方式大致可分为以下几种类型

1.低维与高维类比

一般对高维问题的思索不及低维问题容易，因此为了解决高维问题，常先找出类似的低维问题加以比较，从对低维问题的探索中找出类似的方法和结论来解决高维问题．

2.数与形类比

在数学研究中，数和形的类比经常在两个相反方向上得到应用：既可以通过与“形”的比较去推测“数”的有关性质，又可通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质．代数与几何之间，代数方程的特点与几何图形性质之间存在着对应关系，因而两者中的规律就可以类推，解析几何就专门研究其间的对应规律的．通过“形”的分析来从事“数”的研究的方法在现代教学研究中具有十分重要的作用，例如通过向量、长度、内积等概念的引进赋予分析命题以几何意义，进而凭借几何直观去推测分析中的新定理．

3.有限与无限类比

数学中有关无限的性质一般均可由与有限问题进行类比的方法提供线索．无穷级数和积分与有限和类比，微分与有限差分类比，微分方程与代数方程类比（特别是线性方程组方面），这些对应领域的性质常常相互类推，这样做可以使我们获得新发现，或者使我们对知识之间的内在联系获得更深入的理解．

4.离散与连续类比

数学中许多离散型问题了通过这种类比形式推广成连续型问题，而某些连续型问题的研究也可通过这种类比形式借助相应的离散型的方法获解．例如数列极限与函数极限之间就可运用此种类比．

二、类比的应用

类比思维在教学知识延伸和拓广过程中常借助与比较、联想，用于启发引导以寻求思维的变异和发散．在归纳知识系统时，又可用来串联不同层次的类似内容，以帮助理解记忆．在解决问题时，无论是对于命题本身或解题思路方法，都是产生猜测，获得命题的推广和引申的原动力．因此类比方法是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法．其思维作用包含整理性和探索发现性两个方面．

类比思维不但可使学生温故知新，使新内容的引出先得自然合理，而且可以帮助学生更好的理解记忆和运用它们．一般的类比运用步骤可简单概括如下：

1.提出一个与要求解决问题相类似的，较简单的，容易解决的问题．

2.对这个问题的解法进行分析，并重新整理改造以便用它来作为模型．

3.利用这个问题所提供的模型再来解决原来那个较难的问题．

三、注意问题

类比结论的可靠程度取决于两类对象的相似属性，以及它们之间的相关程度.相似属性与相关程度越高，那么类比结论的可靠程度就越大．可见类比结论不一定都是正确的，需要经过严格的证明才能定论，所以在中学教学中应注意克服机械类比，防止学生滥用造成错误，尤其要注意作为教学中许多符号的形式类似，但意义完全不同.学生往往根据形式类似进行类比造成错误．

在进行类比时，寻找作为类似的相似性，即使在被比较对象间有不少性质相同的情况下，也不是一件容易的事．教学时，教师结合教材作出类比范例是重要的，同时也要由浅入深，由易到难，逐步引导学生自己运用类比，并与其他思维方法结合起来，发展探索数学问题的能力和创造性思维能力．