探索勾股数

探索勾股数

董常宝

董常宝河北省邯郸市第十一中学056002

摘要：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整数，那么a、b、c称为勾股数。如果a、b、c三者互质（它们的最大公因数是1），它们就称为素勾股数。勾股数中含有许多规律，我们对其进行了探索。

关键词：勾股数素勾股数奇数偶数质数

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整数，那么a、b、c称为勾股数。如果正整数a、b、c是勾股数，那么易证它们的正整数倍数也是勾股数：∵a2+b2=c2，∴（na）2+（nb）2=n2a2+n2b2=n2（a2+b2）=n2c2=（nc）2,即正整数na、nb、nc也是勾股数。如果a,b,c三者互质（它们的最大公因数是1），它们就称为素勾股数。

其实这是生活在2500年前的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯在摆放小石子时发现的：当小石子的数目是l、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是l、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数……如图，在一些正方形数里（0当作石子），左上角第一个框内的数是正方形n2，；第二框内的正方形数是（n+1）2。

显然，（n+1）2-n2=2n+1。若2n+1是完全平方数，可设2n+1=w2，而它又是奇数，所以w必是奇数。再设w=2p+1,则：

2n+1=（2p+1）2=4p2+4p+1,则n=2p2+2p=2p（p+1）,

（n+1）2=［2p（p+1）+1］2，n2=［2p（p+1）］2。

所以［2p（p+1）+1］2-［2p（p+1）］2=（2p+1）2，这组勾股数也叫毕达哥拉斯数。

几百年后，希腊数学家丢番图（Diophontus，约250）发现了2mn、m2-n2、m2+n2这组勾股数，他在《算术》一书中论述了求解x2+y2=z2的一般解的问题。

若令n=1，m=2q（q为正整数）；则第二组数可转化为“2×2q，（2q）2-12，（2q）2+12”，化简得到：4q，4q2-1，4q2+1所以当n=1，m为偶数时，第三组数是第一组数的特例。

这组数常用数据可以用下表表示：

显然，最短边为偶数时，勾股数有此规律，而且这些勾股数都是素勾股数。

所以不小于3的自然数为勾股，必存在一组勾股数。素勾股数（不是所有的素勾股数）很多都可用上述列式找出，这亦可推论到，数学上存在无穷多的素勾股数。有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是20，它在以下两组勾股数之中出现了：20、21、29与20、99、101。

在这里，我们发现了一些事实或规律：

1.勾股数不可能是三个奇数，因为两个奇数的平方和不可能是第三个奇数的完全平方。比如（2m+1）2+（2n+1）2=4m2+4n2+4m+4n+2是偶数，所以直角三角形较短两边（边为整数）一定是一奇一偶。

2.最短边为奇数2p+1时，最短边的平方等于另外两条边的和。

设最短边为2p+1，则（2p+1）2=4p2+4p+1=2p（p+1）+[2p（p+1）+1]；

即a2=b+c（a<b且a<c）。

3.勾股数a、b、c，若a为质数，则2（a+b+1）与2c-1均为完全平方数。理由：勾股数a为质数，a必为奇数，可令a=2p+1，则b=2p2+2p，c=2p2+2p+1；

∴2（a+b+1）=2（2p+1+2p2+2p+1）=4（p+1）2；

2c-1=2（2p2+2p+1）-1=4p2+4p+1=（2p+1）2。

4.注意第一组数“2mn，m2-n2，m2+n2”中若m和n互质，而且m和n至少有一个是偶数，计算出来的a、b、c就是素勾股数（若m和n都是奇数，a、b、c就会全是偶数，不符合互质）。

通过这次的讨论发现，日常的一些定理和公理，经过对其深入钻研，会发现里面蕴涵的东西很丰富，对我们解题很有帮助。我们可以将类似的内容作为学生的课题性学习，开阔学生的思路，达到帮助教学的目的。

参考文献

1.于锋趣谈勾股数。

2.彭云龙勾股数的联想。

3.数学发展史概述。