找共性、抓本质

找共性、抓本质

唐惠玲

———《函数的概念》教学反思

唐惠玲

〔摘要〕在《函数的概念》教学中暴露出许多问题和不足，随着新课程教学的推进，对新课程的理解不断深入，反思以前的教学，函数概念的引入重在找共性、抓本质，认识函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

〔关键词〕函数的概念变量数学模型

《函数的概念》的教学安排在数学必修1第二章，大约在高一开学的第二周。2009年9月初次使用新教材，由于刚接触新教材，对新课标理念理解不透彻，虽然在上课前作了充分的准备，但仍然存在许多问题和不足。《新课标》关于函数概念的内容与要求“通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。”

函数概念是中学数学中最重要的概念之一。函数概念、函数思想方法将贯穿整个高中数学课程。对函数概念本质的理解，不能要求一步到位。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数。教学中首先应通过与初中定义的比较，在问题引入时以生活中的实例为背景，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，探索实际问题中的数量关系，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，并通过与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画函数概念。其次在后续的学习中通过基本初等函数的学习，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质。

函数概念的引入，区别于旧教材，不是由映射引入，而是给出三个实例，三个看似不相关的问题与函数的概念有什么关系？笔者由于对教材的理解不深刻，在教学时，仅仅就每一个例子提出类似的思考：①这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？试用集合表示？②两个变量之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？

紧接着提出知识探究：①从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？②上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？③在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？④一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？

提出问题却没有给学生足够的时间思考，急于完成教学任务，匆匆忙忙给出函数定义，接着做例题、练习，结果什么都想讲，又什么都没讲清楚，显得一堂课很杂乱，是一堂失败的课。随着新课程教学的推进，对新课程的理解不断深入，逐渐体会教材编写者对例题的精选，反思以前的教学，有以下几点思考：①探究式教学，不应局限于教师提出问题，学生思考、回答，要培养学生的问题意识，让学生去发现问题，提出问题，分析问题，解决问题，真正去探究。而教学中常常是教师有太多的作为，学生太少作为，学生等待被告知结果，缺乏主动的探究意识。教学中问题的设置在引导学生思路的同时也局限了学生思维，能否设置的更开放一些？

比如“你能找找以上几个例子的共同特征吗？”“你能举出一个函数的例子吗？和这三个例子比一比，有什么区别吗？有没有相似的地方？”从学生看似多种多样的回答和分析中提炼出共性，也即函数的本质。这需要教师很好的把握，放得开，收得回。②通过三个具体问题的分析，寻找共性，归纳、概括出函数的本质———描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并不是每个函数都能写出解析式，函数也不局限于已学过的几种具体函数模型，这是对学生在初中形成的函数的认识的一个突破，这三个实际问题背景，既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础。③认识了共性的、本质的，再去研究个性的、具体的函数的性质。首先对函数有宏观的认识后，再从微观上去分析研究。教材中三个问题的描述方法各不相同，与函数的三种表示方法———列表法、解析法、图象法相对应，这样起到了承上启下的作用，使学生对函数有了感性的认识。④引导学生由自然语言描述函数过渡到用集合的语言刻画函数概念，明白表示函数概念的符号。对于函数概念的真正认识和理解是不容易的，要经历一个多次接触的较长的过程。本节课就是要在学生初中学习函数的基础上，通过创设恰当的情境，提出恰当的问题，使学生产生进一步学习函数概念的积极情感，在认识函数的构成要素后，用数学的基本语言———集合语言来刻画函数概念，提升对函数概念的符号化、形式化的表示。应使学生理解f(x)的意义，即表示自变量x与函数间的对应关系。如果这个对应关系是：f(x)=x2+x-1，那么f(t)=t2+t-1，在中学范围内，两者应看作同一函数，即定义域为R，对应关系为：(自变量)2＋(自变量)－1。如果自变量是“x＋1”，那么f(x+1)=(x+1)2+(x+1)-1，从而当自变量为a时，可得到对应的函数值f(a)。但是，一旦符号化，函数定义、函数值的定义就隐居背后，容易产生滥用符号的错误。因此，教学中我们始终要给符号以具体内容，常常提醒学生符号的意义及其使用的条件。⑤通过实例体会函数是一种重要的数学模型，由具体到抽象，体会建模思想。不同的问题可以有不同的表达形式，生活中处处有数学，处处有函数，激发学生学习兴趣，使数学不再抽象，不再缺乏生机。⑥图象帮助学生理解函数的作用不可忽视，数形结合思想在研究函数时有重要的作用。⑦适时进行德育教育，爱国主义教育。从恩格尔系数变化反映我国经济水平的稳定增长；从臭氧层空洞面积的变化，培养学生的环境保护意识，此例中可增加新数据，2000年南极上空的臭氧空洞面积达创记录的2800万平方公里，相当于4个澳大利亚。2008年形成的南极臭氧空洞的面积到9月第二个星期就已达2700万平方公里。联合国环境规划署自1976年起陆续召开了各种国际会议，通过了一系列保护臭氧层的决议。人们一旦了解了臭氧空洞的危害和形成原因，相信会对臭氧空洞演变的预测和防止提出新的理论和方法。⑧学习概念的关键是抓住概念的本质属性，理解概念的意义。学生经常感觉函数概念定义背会了，仍不会做题，到底是怎么回事？其实学生只不过是了解函数概念的叙述，对概念只是简单的记忆和表面的理解，根本没有真正理解函数概念的本质，没有形成概念的应用能力。

因此，概念的教学应重视起始环节，即概念的引入，合理的设置引入情境，不仅降低学习的难度，而且有助于对函数概念的本质的理解和把握。⑨教材是资源，我们如何使用？教材中的三个实例很有代表性，三个问题的背景、描述方法各不相同，恰好与函数的三种表示方法———列表法、解析法、图象法相对应，对三个问题的仔细分析，还可发现函数的其它性质，如定义域（有限集，无限集），单调性（递增，递减），连续性（连续的，离散的）等等。在理解了它们的共性，即函数的本质后，再探究个体的差异，可以帮助学生对函数概念有深层次的理解。所以用好教材中的实例，对教材进行深层次的探究，比不断地补充、添加例题更有益处。

参考文献

1曹才翰．中学数学教学概论[M]．北京：北京师范大学出版社，1990

2何棋．优秀高中数学教师一定要知道的10件事[M]．北京：中国青年出版社，2007

3史宁中．《数学课程标准》的若干思考[J]．数学通报，2007(5)：1-5

4宋宝和等．现代数学课程理论与实践[M]．山东：山东大学出版社，2006

5中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）．北京：人民教育出版社，2003

作者单位：新疆乌鲁木齐市高级中学