基于排队论的公厕排队系统的分析与研究

基于排队论的公厕排队系统的分析与研究

冯建彪

冯建彪

（滨州技术学院电子信息工程系，山东滨州256600）

摘要：公共厕所入厕难已经成为我们社会的一个痼疾，尤其对于女性而言。本文通过对数据的研究与分析，引出问题的实质，从而依据排队论的理论建立了问题的数学模型。根据基本模型提出的假设应用MATLAP给出了具体的实现过程及模型。

关键词：排队论；MATLAP；仿真系统

一、引言

均等并不总意味着公正。这个悖论可以通过厕所前的排队长龙得到科学验证。可别小看了这个问题，只需在公共场所略作观察就可发现，虽说男女洗手间的面积完全相等，但当男士们面不改色地在他们这边随进随出时，女洗手间外的长队却总是“尾大不掉”。基于公共建筑物设计标准和男女各自生理特性作出的科学分析告诉我们，厕所外，女性的排队长度是男同胞的100多倍！

通过分析国际上现有的相关资料，美国康奈尔大学的亚历山大·基拉（AlexanderKira）计算出两性小便时在厕所中的平均停留时间：男性为39秒（±6秒），女性为89秒（±7秒）。女同胞的如厕时间平均为男子汉们的2.3倍。但这并不是导致排队差异的唯一原因，根据调查研究两列等待队伍的人数差异随厕位数量呈指数级增长。为了研究此现象并找出适当的解决方案，设计了如下排队系统。

二、系统分析

此现象可以用随机服务模型来描述，所以会应用到排队论的相关理论知识。一般的随机排队系统有三个部分组成：人员到达规律，服务时间，排队规则。对于公厕排队系统可以将这三部分做如下假设。

1.人员到达规律。设在[t,t+△t]时间内到达一个人的概率与△t成正比，比例系数λ，到达两个及两个以上顾客的概率为o(△t)；在不相交的时间区内到达的人员数相互独立且人员无限。根据概率论的基本知识，在上述假设下，在t时间到达的人员数服从泊松分布。单位时间内到达人员的平均数是λ。平均到达间隔为1/λ。

2.服务时间。为了简化问题的复杂性，假设男女用厕时间都一定，且女士是男士的2.3倍。

3.排队规则。按先到先服务的模式且队长没有限制。

综上所述，在随机排队模型中人员到达数服从参数为λ的泊松分布，服务时间是定长的，按照先到先服务的规则进行。用排队论中的M/D/S模型来标定此模型。此系统中我们所关心的问题是人员的等待时间及平均队长，所以最终会通过仿真描绘出队列长度与时间变化的曲线图。通过设定不同的用厕时间参数来分别研究男女排队问题，并通过最终的比较权衡来做出适当的公厕设计调整。

三、系统模型建立

排队系统是一种比较典型的离散动态系统，按照常规，他的仿真必然涉及到时间的表示，事件驱动的表示（到达时间和离开事件）。笔者将用一种静态仿真的思想来实现此系统的计算机仿真。

1.首先考虑简单的M/D/1模型系统，即假定只有一个厕位。通常对排队系统中的每个动态实体的状态可以由三个量来反映：与前一个实体到达的时间间隔，在排队到自己的等待时间及服务时间。相对应此系统实体到达时间间隔与等待时间均保持不变，而服务时间则一定。到达时间间隔服从指数分布，不受别的因素影响。

算法描述如下，如果某个实体到达之后，发现处在他前面的动态实体已经结束服务，则此实体不用等待，直接接受服务；反之，处在他前面的实体如果没有结束服务，则此实体的等待时间就是他前一实体结束服务的时刻减去他到达的时刻。

2.上面描述的是相对于一个厕位的简单系统M/D/1设计的算法，可这与现实情况并不是太符合，遵循上述的原则考虑M/D/S模型的建立与算法实现。此时系统中存在S个厕位，不能只简单地考虑前一个动态实体的状态，而应该考虑前S个动态实体的状态，且不能直接使用到达时间间隔这个变量，因为会造成实现的复杂性，而应该考虑用到达时间这个变量参与实现。前S个实体不用考虑其等待时间，均为零。但需要根据随机产生的到达时间间隔累积计算出每个实体的到达时间。

算法描述如下，从第S+1个实体算起，当此实体到达之后，发现其前面有至少一个实体结束服务，则其不用等待，直接接受服务；反之，如果发现前面均没有实体结束服务，则此实体等待时间为前n个实体中未结束服务的最早到达实体的结束服务时刻减去此实体的到达时刻。

四、系统模型的实现

通过MATLAB对上述系统进行了仿真程序的实现。因为实体的到达时间间隔相互独立，所以才可以根据参数（平均时间）产生模拟的随机数从而来对现实中的公厕排队系统进行仿真。假设在某个固定的高频率公厕使用时段内（下课休息时间，演出休息时间等）研究此问题即在平均每半分钟到达一个人的情形下，且根据统计数据，男士用厕时间为0.65分钟,女士用厕时间为1.48分钟。仿真结果如下：

[A,l]=smqueue(0.5,0.65,4,400)//男士排队系统（平均到达时间，用厕时间，厕位，人数）

[A,l]=smqueue(0.5,1.48,4,400)//女士排队系统（平均到达时间，用厕时间，厕位，人数）

五、仿真结论

根据仿真实验还得出了男士的平均排队队长为1人，而女士的平均排队队长为5人，与现实世界中所观察到的现象基本符合。

此系统的设计忽略了许多细节问题，如用厕时间的不确定性，洗手时间的不确定性，还有男女公厕设计的相异性。但通过简化的模型得出了正确的数据。在此数据的基础上，经过反复测试研究，当男女厕位比例为1：3时，能够缓解一些“男女不公”的问题。在越来越重视以人为本的今天，公共洗手间的设计也应该被考虑进服务设计的环节。

参考文献：

[1]范影乐.仿真应用详解[M].人民邮电出版社，2001.

[2]熊启才.数学模型方法及应用[M].重庆大学出版社，2005