数学思想

数学思想

孙晓明

孙晓明山东省栖霞市寺口中学265300

数学问题的解决无不以数学思想为指导，数学思想是数学学习的指路明灯，它是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。在初中阶段重视数学思想方法的渗透，将为学生后续学习打下坚实的基础，会使学生终生受益。

一、数形结合思想

数形结合思想是初中数学中一种重要的思想方法，著名数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这句话说明了“数”与“形”是紧密联系的。

例1.(2014·山东济宁)“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n(m＜n)是关于x的方程的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是()。

A.m＜a＜b＜nB.a＜m＜n＜b

C.a＜m＜b＜nD.m＜a＜n＜b

【思路分析】把方程转化成二次函数，画出草图，结合图象，即可轻松求解。

二、分类讨论

分类讨论是一种重要的数学思想，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。分类要依据一个标准，要做到不重不漏。

例2.（2013·襄阳）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）。

请解答下列问题：

（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；

（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

【思路分析】（1）根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；（2）分三种情况进行讨论，当yA=yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案；（3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论。

三、方程思想

方程思想是一种重要的数学思想，所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数学关系通过适当设元建立方程（组），使问题得到解决的思维方式。

例3.（2014·梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E。设CD=x，DF=y。（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值。

【思路分析】（1）由已知求出∠C=30°，列出y与x的函数关系式；（2）由四边形AEFD为菱形，列出方程y=60-x与y=x组成方程组求x的值；（3）由△DEF是直角三角形，列出方程60-x=2y，与y=x组成方程组求x的值。

四、函数思想

函数思想数指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题，也是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型。

例4.（2014广西玉林防城港）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）。

【思路分析】将图象分为二段[小三角形完全在大三角形里面（即0≤x≤1）和小三角形开始穿出大三角形（即1＜x≤2）]处理，当小三角形完全在大三角形里面时计算小三角形的面积即为重叠面积y，当小三角形穿出大三角形的过程中则求出重叠面积y关于x的函数关系式。

五、转化思想

转化思想是中考命题中重点考查的一种数学思想方法。它是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，从而使复杂问题简单化，化难为易，使未知的问题已知化，因此转化思想在初中的代数、几何中成为一个重要的数学思想。

例5.（2014江苏连云港）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）。

A.2≤k≤B.6≤k≤10

C.2≤k≤6D.2≤k≤

【思路分析】先求得当函数y=图象经过点A(1,2)时k的值（即k的最小值），再求得该函数图像与BC边有唯一交点时k的取值（即k的最大值），从而得到所求结果。

总之，数学思想方法的教学甚至比传授知识更重要，因为思维的锻炼不仅对学生在某一学科上有益，更使其终生受益。站在“以学生发展为本”的角度上看，在教学中适时适度渗透数学思想方法将对培养学生可持续发展的能力有极大的好处，其教学潜在价值更是不可估量的。