浅谈条件概率求法

浅谈条件概率求法

龙雯婷

龙雯婷

（安康市汉滨高级中学，陕西安康725000）

条件概率是一种重要的概率类型，是学习相互独立事件的前提和基础，作为教材新增内容之一为后续学习提供了很好的方法。因此，对条件概率问题的解题方法的汇总尤为必要。条件概率的定义：一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0,P(B/A)=P(A∩B)/P(A)为事件A发生的条件概率，把P(B/A)读作A发生的条件下B的概率。而把由事件A和B同事发生所成的事件D，称为事件A和B的交（或积），记作D=A∩B（或D=AB）,对于事件的交概念可以用集合的观点加以理解。求解条件概率常用方法有如下几种。

一、用定义求解

例1：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问

（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？

（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?

分析：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”，则根据题意有P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(A∩B)=0.12。问题：（1）为求P(A/B)；

（2）为求P(B/A)

解：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”

（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A/B)=P(A∩B)/P(B)=0.12/0.18=0.67

（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B/A)=P(A∩B)/P(A)=0.12/0.20=0.6

评注：1.正确理解条件概率的概念是解题的关键，条件概率判断的主要依据题目中常出现“已知”,“在……前提下”等字眼。本题目中没有出现上述明显字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也为条件概率。如从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，其中一张放在验钞机上发现是假钞，求两张都是假钞的概率。题目中没有明显的条件提示，但有“一张放到验钞机上发现是假钞”，这一条件此事件的出现影响了所求事件的概率，故此题为求条件概率。

2.要弄清楚所求事件的概率是在什么条件的发生下的概率，即是求P(A/B)还是求P(B/A)，以便正确地运用条件概率公式。

二、用古典概型概率求解

对于古典概型的题目，可采用缩小基本事件空间的求法来计算条件概率。

例2：设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量m表示方程x2+bx+c=0有实根的个数（重根安一个计算）

（1）求方程x2+bx+c=0有实根的概率？

（2）在先后两次出现的点数中有5的条件下，求方程x2+bx+c=0有实根的概率？

解：（1）列举（b,c）的所有可能取值有（1,1）（1,2），（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）,（2,1），（2,2），（2,3）（2,4）（2,5）,（2,6），（3,1），（3,2），（3,3），（3，4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）。共36种而要使方程x2+bx+c=0有实根，必须满足⊿=b-4c≧0，符合条件的有（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（5,1），（5,2），（5,3），（5，4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），

（6,6）共19种。因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为19/36。（2）先后两次出现的点数中有5的可能结果有（1,5），（2,5），（3,5），（4,5），（5,1），（5,2），（5,3），（5，4），（5,5），（5,6），（6,5），共11种。其中使方程x2+bx+c=0有实根的有（5,1），（5,2），（5,3），（5，4），（5,5），（5,6），（6,5），共7种。故先后两次出现的点中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率为7/11。

评注：本题主要考查古典概型及条件概率的计算。本题第

（2）问中关于条件概率的计算，这里根据古典概型计算公式，采用列举直接求解。

还可以用定义法求解:设A=方程x2+bx+c=0有实根，B=先后两次出现的点数中有5，A∩B=有实根且先后两次出现的点数中有5，则P(A∩B)=7/36，又P(B)=11/36，所以所求概率为P(A/B)=P(A∩B)/P(B)=7/36&pide;11/36=7/11。

三、用剔除法求解

例3：某学校一年级共有学生100人，其中男生60人，女生40人，来自北京的有20人，其中男生有12人，若任选一人是女生，该女生来自北京的概率是多少？

解：记选一女生为A事件，来自北京的女生为B事件,因女生总人数为40人，而来自北京的人数总数为20人，因此北京女生人数为20-12=8所以该女生来自北京的概率为8/40=0.2,即P(B/A)=0.2.

评注：用剔除法计算条件概率P(B/A)，仅需用在事件A这一范围来考查事件B,发生的概率。这种方法使计算变得既简单又巧妙。

总之，求条件概率关键是明确几个事件中，在谁发生的条件下求另一事件发生的概率。掌握了这一重要的条件概率求法，为后面的相互独立事件的概率求法做好了很重要的铺垫作用。