工科不定积分计算方法的教学研究

工科不定积分计算方法的教学研究

段宏博 张瑶 汪永娟 王晓春

哈尔滨石油学院 数理部，黑龙江 哈尔滨 150006

摘要：不定积分是高等数学中非常重要的内容之一，它是解决定积分、广义积分、二重积分、曲线积分、曲面积分的重要工具，学好不定积分也是学好其他学科的重要基础。不定积分的重点就是不定积分的计算，本文归纳总结了不定积分的常用计算方法 :直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法，并且结合高等数学不定积分教学过程中实际例子，讲解不定积分的四种常用的计算方法。学生在学习不定积分的过程中，对学生的科学素质和数学素养的培养有着深渊的影响，为学生以后的学习和工作打下良好的基础。 关键词：高等数学 不定积分 计算 教学研究

1. 引言

微积分的核心是微分和积分内容，微分的基本问题是已知一个函数求它的导数或微分，而不定积分研究的是已知一个函数，求谁的导数是这个已知函数，所以不定积分是微分的逆运算。不定积分的计算是高等数学的重点和难点，不定积分的计算不像微分计算有一定的法则，不定积分的计算具有更高的难度、更强的技巧性、更多的灵活性。为了开拓学生的思路，在学生理解不定积分的基本概念后，要求学生掌握不定积分的性质和积分基本公式，为后面学习不定积分换元法、分部积分法打好基础，自如的解题。学生通过学习不定积分在求解不定积分的过程中，培养学生逻辑思维能力、分析能力、运算能力、应用能力。不定积分与自然科学有着密切的联系，如自动控制、信号与系统、流体力学等学科领域产生与发展过程中出现了各种微分方程，通过不定积分来求解这些问题，从而解决各种科学问题，建立了很多的成绩。所以如果学生很好的掌握不定积分并在将来解决所学领域的问题，对于促进社会的发展和进步是十分必要的。

2. 
   

3. 不定积分的定义、性质

_{1.原函数的定义：设是定义在区间上的函数，如果存在可导函数,使得对任意,都有或.则称函数为函数在区间上的一个原函数。}

_{2.不定积分的定义：在某区间上函数的所有原函数为函数在区间上的不定积分，记作}

_{，其中称为不定积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，为积分常量。}

_{3.不定积分的性质}

_{(1)性质1.(为非零常数)}

_(2)性质2.

_(3)性质3.

_{三、不定积分的计算方法}

_{1.直接积分法：利用不定积分的定义来计算不定积分很不方便，为了解决不定积分的计算问题，利用计算性质和基本积分公式，直接求出不定积分。}

_{例1：求不定积分}

_解：

_{例2.求不定积分}

_解：

_{从上面两个例子可以看出，将被积函数转化为积分基本公式中存在的积分公式后，再计算不定积分。}

_{2.第一类换元法（凑微分法）}

_{第一类换元法：设是的连续函数，且设有连续的导数则}

_{例3.求不定积分}

解：令_则

_{初学时应将换元这一步骤明确体现出来，运算熟练后，不用写出换元的新变量，只要将不定积分凑成后，直接求出结果}

_{例4. 求不定积分}

解：

3.第二类换元法：

_{第二类换元法：设函数为单调、可导函数，且设具有原函数则有}

_{其中是的反函数。}

_{例5.求不定积分}

_解：令则

_于是

_{4.分部积分法}

_{分部积分公式：}

_{例6.求不定积分}

_解:

_{选择此例题，让学生理解应用分部积分公式计算不定积分时要选择合适的函数进微分号，如被积函数为幂函数乘三角函数的不定积分时要选择送三角函数进微分号等等。}

不定积分的计算要抓住典型例题，同时进行大量的习题练习，积累解题经验，熟练的掌握不定积分的计算方法，形成不定积分的规范计算。

其实不定积分的解法非常多，在学生掌握了不定积分的计算时候，我们在教学中讲解例题时候不能仅仅只讲一种解题方法，要试图一题多解，开拓学生解题思路，培养学生活学活用，举一反三的能力。这就要求我们在教学中要反思，要总结经验，如何深入浅出的将解题方法和思维展示给学生，让学生学得有思路有见解，这是我们在教学中应当考虑的问题。

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