圆锥曲线中最值问题的求解策略

圆锥曲线中最值问题的求解策略

蒋瑞梁

玉环市教育教学研究中心 浙江台州 317600

摘要：求解圆锥曲线中最值问题的常用方法。

关键词：圆锥曲线；最值

圆锥曲线中的最值问题是解析几何中的难点问题，也是高考中的热点问题。圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间都存在密切联系。圆锥曲线最值问题常见的有两类：一类是有关长度、面积的最值问题：另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题。这些问题往往通过回归定义，借助几何知识，建立目标函数，利用函数性质和不等式知识，以数形结合、转化的数学思想寻求解题思路。

下面就圆锥曲线中几种基本最值问题，剖析其解题策略。

一、定义法

理解定义、灵活运用定义是解题关键，这在求圆锥曲线最值问题中表现最为突出。灵活运用能收到事半功倍的效果。

例1：已知椭圆 内有一点 （2，1）， 为椭圆的左焦点， 是椭圆上动点，求 的最大值与最小值。

分析：求 的最大值与最小值,考虑用普通方法比较难解，则我们可作适当转化，利用椭圆第一定义，把 转化为与另一焦点有关的线段，即 ,再结合平面内三点共线时有最值，而点 在线段 延长线的不同侧时，会使 取得最大值或最小值。

策略：本题中巧用第一定义解题：动点到两定点距离之和等于定值 ，两定点为焦点， 为长半轴，利用这定义，把所要求的目标：转化为容易求解的目标。即把 转化 ，即转化为 三点共线进行讨论，当 点在 延长线时，所求函数有最大值，当 点在 的延长线时，所求函数有最小值。

二、几何法

将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关系、平行间距离等求解。

例2. 已知椭圆 和直线 l:x-y+9=0 ，在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦点 为焦点作椭圆 ，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。

分析；设 是 关于l对称点 ， 可求出 坐标 ，过 的直线方程与x-y+9=0联立得交点M为所求。

解 ：由椭圆方程 ，得 ， 设 是 关于l对称点 ， 可求出 坐标为(-9,6) ， 过 的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)， 即过M的椭圆长轴最短。

由 ,得 ，

, ,

所求椭圆方程为 .

[策略] ：在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平几知识求解，蕴涵了数形结合的思想。

三 、不等式法：

列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。

例4 、过椭圆 的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求 面积的最大值 。

分析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。

解 ： 椭圆焦点 ，设直线方程为y=kx+1 与 联立 ，消去y, 得 ， 其中两根 为A,B横坐标 。 将三角形AOB看作 与 组合而成 ，|OF| 是公共边 ，它们在公共边上的高长为 . , 其中 |OF|=c=1.

= =

= . 当 时,取等号 ，得 的面积最大值为 。

[策略] 利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：1、每一项要取正值；2、不等式的一边为常数；3、等号能够成立。其中正确应用 “等号成立”的条件是这种方法关键。

圆锥曲线最值问题涉及知识较多，在求解时，要多思考、多联系，合理进行转化，以优化解题方法。

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