高考函数压轴题解析

高考函数压轴题解析

蒋述

本溪市第二高级中学，辽宁 本溪 117000

摘要：函数是高中数学学习中的一大重要板块。在近几年的高考中，一般都会有一道函数题被作为整张试卷的压轴题，出现在第20题附近。本文对近两年高考中的函数压轴题进行梳理总结。考察的知识点有极值、零点、单调性。虽然问题样式很多，但究其根本依旧是对函数基础理论的考察。想要解决这道压轴题，需要熟练的掌握函数的各个知识点。

1. 相关知识的阐述

1.1 单调性

定义 区间 ，对区间 内的 如果 , ，则 在区间 上单调递增；如果,, 则 在区间 上单调递减。

求法 通常我们求函数的单调性通常不使用定义法，而根据函数的导数。一般地， 在某个区间内有导数，如果在这个区间内,那么 在这个区间上为增函数，即单调递增；如果在这个区间内 ,那么 在这个区间上为减函数，即单调递减。

1.2极值

定义 一般， 在 ,及其附近有定义，如果 的值比 附近各点的值都大此时 为 的一个极大值；如果 的值比 附近各点的值都小此时 为 的一个极小值。

求法 根据极值的定义不难看出，我们需要先求函数的单调区间，根据函数的增减性就可以很好的判断其极值的情况。所以对于极值类的问题，依旧采用求导求单调区间的方法。

1.3函数零点

求法 函数零点求解可以根据定义，解方程。但有些 十分复杂，很难求出其实根。这时通常将零点问题转换成交点问题。将方程 看作函数 与函数 的交点问题求解。借助于数形结合对于一部分问题有奇效。特别是在处理含有参数函数的零点问题时效果最佳。

2. 例题解析

例 （2019年理科全国高考I卷第20题）已知函数 , 为 的导数。证明：（1） 在区间 存在唯一极大值点；（2） 有且仅有 个零点。

第一问解法 ,要求解 的极大值，需要求其单调性。因此设 。 ,当时， 为减函数，为减函数。所以 单调递减。 可得 在 上有唯一零点，设为 。所以此 时, 单调递增， 时, 单调递减。故 在区间 存在唯一极大值点。

说明 第一问要注意求解的对象是 的极大值，而不是 的极大值，不要弄混淆。其次 作为一个函数，其定义域为 。这一点很重要，在求 的导数时，由于在区间 内， 的导数的函数可以轻易判断单调性。结合两端的值，可以轻易求出 的导数大于零和小于零的区间。另外需要注意函数的导数依旧是函数，具有函数的所有性质。

第二问的解法 由 可得 的定义域为 ，由第一问，我们可以得到 时 单调递增， 时 单调递减。且 。在 时 存在零点 ,在 时 存在一个零点，设为 ，=0。故 时 , 单调递减； 时 , 单调递增。且 。所以 在 有且仅有一个零点。当 时<0。故 单调递减, 。因此在 有一个零点。当 时 。所以 。综合上述，在 仅有两个零点。

说明 第二问主要思想是将函数零点转换成两函数交点的问题。这样零点解方程就转换成了函数的极值、单调性问题上来。

结论

通过2019年真题的举例研究发现该类题型主要考察的是学生对知识点的掌握，以及知识的灵活应用能力。值得注意的是，文本采用的常规解法都有一个现象。第一问和第二问之间有很大的联系。第一问的结论或者证明过程往往为第二问做铺垫。

参考文献：

[1] 陈炳泉，一道高考导数题的思考和探索[J]，数学通报，2021,60（03）.

[2] 杜红全，导数高考考点题型归类解析，数理化解题研究，2020（07）.

[3] 冯海蓉，函数与导数高考复习专题，中学教研（数学），2019（05）。