数学知识在高中物理研究中的具体应用

数学知识在高中物理研究中的具体应用

马玉龙

格尔木市第二中学，青海 格尔木 816800

摘要：物理与数学是两个联系较为紧密的学科，其中数学知识常作为解答物理习题的理论依据.高中物理解题中应认识到物理与数学之间的内在联系，具备跨学科联想意识，善于运用数学知识进行相关习题的解答，促进高中物理解题能力以及学习成绩的明显提升.

关键词：数学知识；高中物理；应用

一、相似三角形知识的应用

三角形相似是重要的数学知识，用于解答受力分析相关的物理习题，能够有效地简化解题步骤，提高解题正确性.解题时只需找到两个相似的三角形，运用对应边成比例便可构建相关的物理方程，顺利的求解相关参数以及寻找参数之间的关系.

如图1所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块，并套在另一竖直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块，忽略摩擦力，而且绳子不可伸长，平衡时弦AB所对的圆心角为α,则两物块的质量比m1∶m2应为( ).

A.cosα2  B.sinα2  C.2sinα2  D.2cosα2A.cosα2  B.sinα2  C.2sinα2  D.2cosα2

该题目运用正交分解虽然能够得出答案，但较为繁琐.如使用三角形相似知识可明显提升解题效率.根据已知条件对A进行受力分析，由平衡条件容易得到，FT2和FN的合力与FT1平衡.如图2所示，根据矢量三角形以及三角形相似得到m2gR=m1g2Rsinα2m2gR=m1g2Rsinα2,解得m1∶m2=2sinα2m1∶m2=2sinα2,选择C项.

二、三角函数知识的应用

三角函数是解答高中物理习题常用的数学知识，尤其在探讨物理参数最值问题时运用三角函数可获得事半功倍的效果.解题时结合所学的物理知识构建相关的物理方程，求解时应迅速的调用在头脑中存储的各种三角函数公式，对相关的物理方程进行转化，以得出正确答案.

如图3(a)一足够长倾角为θ的斜面固定在水平面上，某时刻一初速度为v0的物体沿斜面向上运动.其在斜面上的最大位移和斜面倾角的关系如图3(b)所示.若物体和斜面之间的摩擦因数μ不变，g取10m/s2.(1)求v0以及μ.(2)θ为多少时，x的值最小，求出最小的x的值.

求v0以及μ需要读懂题目.其中当θ=90°时，物体做自由落体运动，由v2002=2gh, 由图可知h=54h=54,代入解得v0=5m/s.当θ=0°时，由动能定理可知12mv20=μmgx12mv02=μmgx,解得μ=3√3μ=33.对任意角由动能定理可得12mv20=μmgxcosθ+mgxsinθ12mv02=μmgxcosθ+mgxsinθ,即x=v202g(sinθ+μcosθ)=v202g⋅1sinθ+μsinθ=v202g⋅11+μ2√sin(θ+φ) (μ=tanφ),x=v022g(sinθ+μcosθ)=v022g⋅1sinθ+μsinθ=v022g⋅11+μ2sin(θ+φ) (μ=tanφ),由三角函数知识，可得xmin=v202g⋅11+μ2√≈1.08mxmin=v022g⋅11+μ2≈1.08m,此时θ=π3.θ=π3.

三、函数图像知识的应用

部分高中物理习题运用函数图像知识进行求解，可清晰的看到参数之间的内在关系，有助于深化学生对物理情境的理解，促进其解题效率的提升，因此解题时应提高运用函数图像解答物理习题的意识，结合具体的物理情境以及解题经验绘制出相关的函数图像，以迅速作答.

一物体做匀加速直线运动，速度从v0变为kv0(k>1)经历的时间为t, 移动的位移为x, 则在其后4t内该物体的位移为( ).

A.8(3k−2)xk+1   B.8(2k−1)xk+1C.8(2k−1)xk−1   D.3(5k−3)xk+1A.8(3k-2)xk+1   B.8(2k-1)xk+1C.8(2k-1)xk-1   D.3(5k-3)xk+1

该题目为匀加速直线运动题目，可考虑采用函数图形进行解答，即，在v-t图像中其和x轴围成的面积，表示物体运动的位移.根据已知条件绘制如图4所示的图像.

由图像可清晰的看到，经历t时物体运动的位移x=v0+kv02⋅tx=v0+kv02⋅t,运动5t的位移x′=v0+(5k−4)v02⋅5tx′=v0+(5k-4)v02⋅5t,两式联立得到x′=5(5k−3)k+1xx′=5(5k-3)k+1x,则随后的4t内物体运动的位移S=x′−x=8(3k−2)xk+1S=x′-x=8(3k-2)xk+1,选择A项.

四、均值不等式的应用

在求解高中物理有关最主要的问题时也可根据实际的问题情境，设出合理的参数，运用均值不等式知识解答.解题的过程中应注意均值不等式等号成立的条件，确保其符合物理情境.

如图5所示的电路中，电源的电动势E,内阻r分别为12V、0.5Ω,电阻R1、R2分别为2Ω、3Ω.滑动变阻器R3=5Ω,若电路中电压的示数取得最大值，则滑动变阻器的P处在什么位置，并求出最大值.

由电学知识可知，当外电路的电阻越大，电压表的示数就越大，因此，求出外电路最大阻值即可.设aP间的电阻为x(0≤x≤5),外电路的电阻为R,则电阻R1+x和电阻R2+(R3-x)并联，则R=(R1+x)(R2+R3−x)R1+R2+R3=(2+x)(8−x)10R=(R1+x)(R2+R3-x)R1+R2+R3=(2+x)(8-x)10,由均值不等式知识可知，(2+x)(8−x)10≤110×(2+x+8−x2)2=110×25=2.5(2+x)(8-x)10≤110×(2+x+8-x2)2=110×25=2.5,即Rmax=2.5Ω,此时2+x=8-x, x=3Ω时取等号，此时电路中的最小电流I=ER+r=12V/3Ω=4AΙ=ER+r=12V/3Ω=4A,此时电压表的最大值U=IR=4A×2.5Ω=10V,此时P在滑动变阻器的距a点3/5长度处.

高中物理解题中常用的数学知识有三角形相似、三角函数、函数图像、均值不等式等，不同的数学知识适合解答的物理题型不同，应用时应具体问题具体分析，结合具体物理情境迅速调用所学的数学知识以及相关的技巧作答.

参考文献

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