高中数学核心素养培养的分段函数探究

高中数学核心素养培养的分段函数探究

黄亚河

福建省晋江市子江中学

理论依据1.波利亚的解题理论.波利亚认为：中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”，这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维.数学教育中注重培养学生的兴趣、好奇心、毅力、情感体验等非智力品质的重要性.

2.建构主义的数学教育理论.该理论阐述了数学学习什么、学生如何学习数学、教师如何开展数学教学.

关键词:分段函数，函数性质，分类讨论思想。

分段函数就是对于自变量的不同取值范围,有着不同对应法则的函数,它是由几段构成的一个函数,而不是几个函数.因为其形式宽泛,一个分段函数可以同时包含若干个初等函数,有时也以绝对值函数的形式出现,所以以分段函数为载体的问题所涉及的知识面较广,所蕴含的思想方法丰富.因而分段函数已成为高考命题的一个热点，解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”，需要综合运用函数性质和图象，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力和提升逻辑推理，数学运算和直观想象的核心素养.

　高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现,试题难度一般较小.常见的命题角度有如下几个方面:

1.分段函数的求值

分段函数的求值包括两类题型.一是直接求值,不含参数的复合函数求值时,从内向外逐次计算,每次都要注意自变量的取值范围;二是如果分段函数的解析式或求解方程问题中含有参数,可根据条件、方程解出参数后,再解决其他问题.

例题1(2021河南濮阳模拟)若f(x)= 是奇函数,则f(g(-2))的值为(　　).

A. B.- C.1 D.-1

_解析　∵f(x)= 是奇函数,∴当x<0时,

∴g(-2)=-1,∴f(g(-2))=f(-1)=g(-1)=1.　　

点拨：求分段函数的函数值时,要先确定待求值的自变量属于哪一个区间,然后代入该区间对应的解析式求值;当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值;当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点值.

训练1．【2018江苏卷9】函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为 ． 答案

2. 给定函数值求参数

f(x)是一个分段函数,函数值的取值直接依赖于自变量x属于定义域的哪一个区间,所以要对x的可能取值范围逐段进行讨论.

例题2.(2021云南曲靖一模)设 若f(0)是f(x)的最小值,则实数a的取值范围为(　　).

A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]

解析∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.当x>0时, ,当且仅当x=1时取等号.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2.

∴实数a的取值范围是0≤a≤2.故选D.

点拨：若给定函数值求自变量,应根据函数定义域内每一段的解析式分别求解,利用函数值构造方程.其关键点为:

(1)讨论,对所求自变量分段讨论,得出相应函数值;

(2)解方程,由函数值相等构造方程,并解方程;

(3)得结论,将符合自变量相应范围的解写出来

训练2.(2021安徽模拟)已知函数 则f(f(-2))=　　　　,若f(f(a))=4,则a=　　　　.  答案　2,　±1

3.分段函数的单调性

分段函数在定义域上的单调性,不但取决于各段函数的单调性,还需在定义域的分界处满足单调性定义.

【例3】(2020届武汉调研)若 是定义在R上的减函数,则a的取值范围是　　　　.

【解析】由题意知 解得 所以a的取值范围是 .

点拨：对于含参数的分段函数的单调性的判断(以两段为例):(1)确定函数的第一部分的单调性;(2)确定函数的第二部分的单调性;(3)比较左端点和右端点的大小,列出满足条件的不等式组,取交集

已知函数 (a>0,且a≠1),数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是_递增数列,则实数a的取值范围是(　　).

A.[7,8) B.(1,8) C.(4,8) D.(4,7) 答案　C

4.与分段函数有关的不等式问题

在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围(解不等式)的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的某段上,然后相应求出在这段定义域上自变量的取值范围,再与这段定义域求交集即可.

例4(2021河北冀州中学第一次质检)对任意实数a,b定义运算“*”: 设f(x)=(x2-1)*(4+x),若函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点,则实数k的取值范围是(　　).

A.(-2,1) B.[0,1] C.[-2,0) D.[-2,1)

解析　解不等式x2-1-(4+x)≥1,得x≤-2或x≥3.

所以

其图象如图中实线所示,由图可知,当-1<-k≤2时,y=f(x)与y=-k的图象恰有三个交点,即当-2≤k<1时,函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点.故选D.

　　点拨　由分段函数的函数值相同求自变量或参数的范围问题时,一般先画出分段函数的图象,观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围,再列出函数满足的不等式,从而解出参数范围.

训练4．【2018浙江卷15】已知λ∈R，函数 当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是_______．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是_________．

答案：

5.与分段函数有关的方程问题

(1)已知函数值求自变量x或其他参数值的问题,一般按自变量x的取值范围分类讨论,通过解方程得出结果;

(2)解由函数零点的存在情况求参数值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式.

例5【2020天津9】.已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

【详解】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根即可，

令 ，即 与 的图象有 个不同交点.

因为 ，

当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；

当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；

当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，

令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .

综上， 的取值范围为 .

故选：D.

点拨：解决与分段函数有关的方程问题,主要是分段讨论构建方程或通过数形结合求图象交点,其关键点为:

(1)讨论,分段讨论相应的自变量,构建方程.

(2)求解,在分类讨论的前提下,求解方程,或利用分段函数的图象求交点的横坐标.

(3)下结论,将各段上的方程的解求并集.

训练5．【2018天津卷14】已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是 。 答案 .

参考文献：

1、普通高中数学课程标准(2017年版)解读。高等教育出版社2018.07

2、潘江涛。高中数学中分段函数问题的就研究与分类总结[J].中学生数理化2013.12

3、黄晓华.分段函数解法例析[J].中小企业管理与科技。2011.03

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