哥德巴赫猜想发展史[1]

哥德巴赫猜想发展史[1]

张紫惠1

河北经贸大学 数学与统计学学院，河北 石家庄 050061；）

摘要为了让新接触到哥德巴赫猜想的人通过此文章较为系统的了解到其产生、发展以及现状，让现在正在研究哥德巴赫猜想的学者吸收借鉴他人的证明角度或方法，本文通过文献研究的方法将获取的有关哥德巴赫猜想的产生过程、发展至今的成果以及哥德巴赫猜想的证明角度或方法进行了归纳总结。得出的结果是偶数的哥德巴赫猜想被研究的思路方法主要有：殆素数、例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题。现在人们也经常利用不同的定义进行哥德巴赫猜想的证明，也常有人提出给哥德巴赫猜想的论述增加成立条件，也有很多人提出通过借助建模、度法、算法等数学工具进行证明。结果表明在哥德巴赫猜想的证明之路上有很多的方法或角度值得吸收和借鉴。

关键词哥德巴赫猜想 证明  思路 发展

0引言

哥德巴赫猜想是数学界的学者进行研究的一大热点，在已发表的论文中，大多数前人在进行研究时将侧重点放在哥德巴赫猜想的证明角度或者证明方法上,比如：李一霖学者在《数学大世界》2020年第4期的期刊中发表了《关于哥德巴赫猜想》这一文章，他通过对质数的定义以及性质的分析，利用数学归纳法对哥德巴赫猜想进行证明，证明了“一切大于等于6的偶数，均可表示为两个质数的和”；何海浪、何雷二位学者在《数学学习与研究》2021年第5期这期期刊上发表的《哥德巴赫猜想的完美证明》这一文章中是利用分组重排、抽取淘汰的方法进行的证明，证明出了哥德巴赫猜想一以及哥德巴赫猜想二。在哥德巴赫猜想的发展史这一方面，前人将其从产生总结至“陈景润证明了‘1+2’”，虽然哥德巴赫猜想证明的发展也从这里开始没有被进一步的向前推进，但是人们对哥德巴赫猜想的证明的研究的脚步并未停止。本文希望通过文献研究的方法将哥德巴赫猜想的产生、发展以及现状总结起来，为以后哥德巴赫猜想的的证明提供历史素材或者为以后其他数学问题的探索证明提供灵感。此论文并非只将前人的突出的证明结果进行总结，而是旨在搜集、整理、总结在哥德巴赫猜想的发展史中关于哥德巴赫猜想的不同角度或方法的证明。

1哥德巴赫猜想的产生以及发展

1.1哥德巴赫猜想的产生

1742年，哥德巴赫在不断的思考中提出这样一个猜想：任意大于2的整数都可以写成三个质数之和。但是他自己不能证明出这一猜想是正确的，所以哥德巴赫写信向欧拉进行讨教，希望他能够帮助自己证明出这一猜想。

1.2哥德巴赫猜想的发展

1.2.1殆素数

1920年，布朗通过改进埃拉托塞在尼筛法证明了“9 + 9”上述的这一结论简称。按照布朗的思路，拉德马赫、埃斯特曼、布赫希塔布三人分别在1924年、1932年、1938年证明了“7+7”、“6+6”、“5+5”，两年后布赫西塔布又证明了“4+4”。在1950年前后，塞尔伯格利用二次型极值的方法对筛法进行了改进，在此法的基础上，中国数学家王元和苏联的数学家维诺格拉多夫在1956年分别证明了“3+4”和“3+3”，王元又于1957年证明了“2+3”。三年后，1962年，中国数学家潘承洞证明了“1+5”，由此将哥德巴赫猜想推进了一大步；在这一年里，王元、潘承洞又证明了“1+4”；布赫希塔布、维诺格拉多夫以及意大利数学家朋比利在1965年证明了“ 1+3”。中国数学家陈景润在1966年5月证明出了“1+2”；也就是“任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数之和，或者一个素数及一个不超过两个素数的乘积”，这项重大研究成果也被定名为“陈氏定理”。这也是“哥德巴赫猜想”的研究领域里得到世界数学家认可的最佳成果。

1.2.2 三素数定理

潘承东先生证明了小素变数不超过奇数N的θ次方中的θ可取/4。1995年展涛教授将其定理推进至7/120。

1.2.2 几乎哥德巴赫问题

1953年林尼克率先提出这一定理，但并未得出k的可容许值。最好结果是希斯-布朗和普赫塔二人合作得到的k=13。

2  哥德巴赫猜想的现状

2.1 哥德巴赫猜想的其他证明思路

2.1.1 定义法

将偶数、奇数和质数的定义视为公理，逐步推出定理一：任何偶数都可以写成两个奇数之和；定理二：大于四的偶数不仅可以写成两个奇数之和，而且可以产生“不包括一和可以被大于一的其他奇数整除的奇数”这个写法，此写法如果得证就能为哥德巴赫猜想提供一个有力的理论依据。（王海东中国高新区2019年第11期）

2.1.2建模方法

证明公式{，结果表明，该公式适用于偶数6~∞。在满足取值范围的n个值中，只要正确的选择出n个值（至少一个），就可以得到两个素数a-B的组合，且这两个素数a-B是与“2n”相互为必要充分条件的，从而可以证明哥德巴赫猜想。

2.1.3增加成立条件

或许哥德巴赫猜想只能被放在一定的数值范围内才能得以证明。将给定的值范围内的所有素数（质数）分别两个两个的相加起来，就会得到一系列的偶数。在数字轴上排列这些偶数

，如果这个数轴上的所有偶数所在的地方都可以被占据，这意味着这个数轴上的所有偶数都对应于两个素数的和。也就是说，任何所有偶数都可以被分成两个素数，这就可以证明出哥德巴赫的猜想是正确的。如果得到的偶数不能在数字轴上占据所有偶数的位置，则没有被占据的位置中的偶数就不能被拆分成两个素数的和。这也显示了哥德巴赫猜想是缺少成立条件的，不能被证明出来的。