如何破解高考数学导数压轴题目

如何破解高考数学导数压轴题目

张新虎 ,谢和安

河南省孟州市第一高级中学    454750

摘要：高考数学中，导数作为一个难点和重点，导数的压轴题目更是备受关注。本文将探讨如何破解高考数学导数压轴题目，希望对广大考生有所帮助。

关键词：高考数学；导数；压轴题目；破解方法

一、引言

高考数学中的导数压轴题目是考查考生导数运算法则的逆向、变形应用能力和构造函数的熟练程度的重要手段，也是考试中最具挑战性的部分。这类题目往往涉及抽象函数和特征式，要求考生灵活应用导数运算法则和构造函数，解决不等式和单调性问题。

考生们在备考过程中，不仅需要充分掌握导数的相关知识，还需要掌握一些解题技巧，才能在高考中取得好成绩。本文将探讨如何破解高考数学导数压轴题目，希望对广大考生有所帮助。

二、数学导数的基本知识

在破解高考数学导数压轴题目之前，首先需要了解数学导数的基本知识。

数学导数是描述函数在某一点的变化率的概念。具体来说，如果函数在某一点的导数为正数，表示函数在该点上升；如果函数在某一点的导数为负数，表示函数在该点下降；如果函数在某一点的导数为零，表示函数在该点取极值。

三、解决高考数学导数压轴题目的一般步骤

有了对数学导数的基本了解，下面介绍解决高考数学导数压轴题目的方法。

第一步，理解题意

在做导数压轴题目之前，首先要认真理解题意。要仔细阅读题目，了解题目中的各个概念和条件，确定问题的限制和范围。只有充分理解题意，才能更好地解决问题。

第二步，求导数

在了解了函数的性质和变化规律之后，可以开始求导数。需要注意的是，求导数需要用到一些基本的求导公式，要熟练掌握这些公式。

第三步，画出函数图像

在理解题意的基础上，通过导数的正负判断单调性，并尝试画出函数的图像。通过观察函数图像，可以更深入地了解函数的性质和变化规律，有助于解决问题。

第四步，判断函数的性质

通过求导数和画图，进一步判断函数的极值与最值、渐近线等。

第五步，综合分析

需要将前面得到的各种信息进行综合分析，得出最终的答案。在综合分析时，可以结合实际情况来进行推理和判断。

四、实例分析

为了更好地说明如何破解高考数学导数压轴题目，下面举两个具体的例子进行分析。

例题1：(2022年全国高考甲卷(文)·第20题)已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

(1)若，求a；

(2)求a的取值范围．

【答案】(1)3    (2)

【解析】

(1)由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；

(2)，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，

则，整理得，

令，则，令，解得或，

令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：

则的值域为，故的取值范围为．

例题2．(2022年高考全国乙卷(文)·第20题)已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)   

(2)

解析：【小问1详解】

当时，，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以；

【小问2详解】

，则，

当时，，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，此时函数无零点，不合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

又，

由(1)得，即，所以，

当时，，

则存在，使得，

所以仅在有唯一零点，符合题意；

当时，，所以单调递增，又，

所以有唯一零点，符合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；此时，

由(1)得当时，，，所以，

此时

存在，使得，

所以在有一个零点，在无零点，

所以有唯一零点，符合题意；

综上，a的取值范围为．

五、结论

在高考数学导数压轴题目中，理解题意、画出函数图像、求导数、判断函数的性质和综合分析是解决问题的关键步骤。只有掌握了这些方法，才能更好地破解高考数学导数压轴题目，取得好成绩。

六、建议与总结

对于考生来说，要想破解高考数学导数压轴题目，需要充分理解数学导数的基本知识，同时具备解题的技巧和方法。在备考的过程中，可以多做一些导数相关的练习题，提高自己的解题能力和水平。此外，还可以参加一些数学辅导班或者请教老师，加深对数学导数的理解和掌握。最后，希望广大考生在备考过程中能够充分发挥自己的潜力，取得优异的成绩。

综上所述，破解高考数学导数压轴题目需要掌握数学导数的基本知识，同时具备解题的技巧和方法。在备考过程中，需要多做练习题，加深对数学导数的理解和掌握。只有这样，才能更好地应对高考数学导数压轴题目，取得好成绩。

七、参考文献

[1] 《数学分册》（人民教育出版社，2018年）

[2] 《高考数学压轴题解析》（人民教育出版社，2019年）

[3] 王立志，高考数学导数压轴题的解决方法，数学在线，2020年，（https://www.shuxuezhan.com/knowledge/kaoshi/568.html）