“数到形”思想的解题策略

“数到形”思想的解题策略

温煜 贾艳钊 邢朝霞 史艳艳 葛娜

河北省邯郸市第二十五中学

数学思想是数学的精髓，学生对其良好的掌握和使用，不仅能增强自身的解题能力，还能再运用过程中形成自身的思维模式。因此，教师引入数到形思想解决问题时，需要让学生体会到数到形思想的优势，并在解题过程中鼓励学生不断使用数到形思想的应用，使学生逐渐形成数到形的思维模式。以下是我们课题组对数到形思想在初中数学题目中的应用及策略。

一、见形思考数，解决较复杂的抛物线形函数问题

初中阶段较复杂的抛物线形函数问题，是学生学习的难点，它将具体的数和直线上的点、曲线上的点建立了对应关系，数形结合思想是解决这类问题的常见的、重要的思想。而学生往往因为图象的不完整性和不确定性，而忽略了数是形的本质，故不能解决问题。所以我们在解决这类问题时，需要引导学生透过形的表象，看到数的本质，即把形的问题转化为数之间的关系，从而轻松解决问题。例如：河北省2020年中考数学试题的第25题：如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T₁～T₅（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T₁到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x²+4x+12发出一个带光的点P．

（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；

（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T₅有交点；

教师引导学生理解，在平面直角坐标系中，比较两个点的位置高低，应看两个点的纵坐标的大小，即纵坐标越大，在平面直角坐标系中的位置越高，反之则越低；比较点在直线上方还是下方，取决于相同横坐标下直线上的点与要确定的点之间的纵坐标的大小关系。在横坐标相同的情况下，纵坐标大于直线上的点的纵坐标，则这个点在直线上方，反之则在下方；比较点在抛物线线上方还是下方，取决于相同横坐标下抛物线上的点与要确定的点之间的纵坐标的大小关系。在横坐标相同的情况下，纵坐标大于抛物线上的点的纵坐标，则这个点在抛物线上方，反之则在下方。发现形与数之间的这种联系，问题（1）指出P点落在那个台阶上，就是给出点的纵坐标，计算横坐标的问题。问题（2）其对称轴是否与台阶T₅有交点，就是给出对称轴所在的横坐标是否在T₅台阶两端点的横坐标之间。不确定的复杂的形的问题可以通过数的比较大小简单解决。教师在教学中应引导学生以见形想数的思路，扩宽学生的数学思维。

二、以数辅助形，解决几何类问题

初中阶段某些较复杂的几何图形题目，可以寻求全等、相似等条件，也可以通过函数知识解决此类问题。在解决这类几何问题时用代数方法辅助，有利于将几何证明过程中复杂的一部分转化为相对简单的代数运算问题。教师在教学中应引导学生以数辅形的思路，通过用函数思想解决非函数为题，给学生提供另一条解题思路，引导学生感知数是指导着形的变化，从而将代数知识图形化。

三、点动则数动，解决数轴中复杂的动点问题

数轴是初中数学第一个数形结合的内容，其动点问题是数轴学习中最难的部分。部分学生因为看着点的变化想不到数之间的关系，导致无法解题。教师讲解这类题目时，引导学生利用数字的变化来表示点的变化，也就是在数轴上点向左移动减，向右移动加，从而将解决数轴上的动点问题转化为数之间的加减问题，化繁为简解决问题。例如：2020河北中考第24题：如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．

（3）从图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．这是一道概率和数轴的结合问题，最难的是第三问，无法具体确定点之间的位置。教师启发学生利用数字的加减运算来表示点的移动就恰到好处。观察游戏规则，不管游戏结果如何，每进行一次游戏，甲乙两人之间的距离变化2个单位，故得出答案为．这种解题方法，让学生再次体会实数与数轴上的点是一一对应，数可视为点，点可当作数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算可以图形化。

四、由数引形，解决方程组新定义的问题

二元一次方程的每一组解分别看成点的横纵坐标，就会发现这些点在一条直线上，直线是一次函数的图象，故每个二元一次方程对应一个一次函数，同时通过方程的变形也能得到一次函数的解析式，也能看到方程与函数的对应关系。教师在讲这类题目时，引导学生从函数的角度看方程问题，给学生解决这类问题提供一种新的思路和方法，促进学生思维的发展，拓宽学生的视野，也为后面未知函数和方程的学习做好铺垫。

通过函数“形”的角度解决方程问题，为学生提供了新的解题思路和方法，培养了学生思维的灵活性、敏捷性和创造性.

通过“数到形”解决问题的策略，帮助学生遇到数形结合的题目能够想见数看形，见形想数，多角度思考问题，多方向尝试解决问题，从而促进数形结合思想的理解和掌握。

课题类别：河北省教育科学规划课题

一般课题

课题名称：初中函数“数到形”教学的实践研究

课题编号：2103118。