“二项式定理”教学设计

“二项式定理”教学设计

张跃峰

（西安市八一民族中学，陕西 西安 71000）

摘要：在新教材的背景下，二项式定理的推导做出了一些改变，利用多项式乘法法则和计数原理证明二项式定理.

关键词：二项式定理；多项式乘法；组合数；计数原理

一、教学内容解析

本节课选自人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第三册第六章6.3“二项式定理”的第一课时.

这一内容展开顺序如下:首先探究多项式乘法中展开式各项的规律特征，在此规律下探究个相乘的展开式，结合计数原理分析同类项的个数，进而确定展开式中项的系数，完成对二项式定理对应公式的推导.

基于以上分析，本节课的重点是用计数原理和多项式乘法结合推导二项式定理.

二、教学策略分析

1.教法分析

启发式、探究式和基于问题串的教学方法.启发学生从数学角度发现问题、分析问题、解决问题.本节课以探究二项式定理为多项式乘法的本质，分析多项式乘法展开式的规律特点，结合计数原理解决了二项式定理展开式问题.

2.学法分析

采取小组合作探究的学习模式，提升学生合作探究意识，同时也培养了学生分析问题、解决问题的能力.

三、教学过程设计

本节课共设计了6个教学环节，逐步完成教学任务，达成教学目标.

1.创设情境，引出问题

二项式定理的产生是为了进行开高次方计算，早在1261年南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了“开方作法本源”图，如图所示的三角形数表，称之为“杨辉三角”.杨辉在书中说明，此表引自11世纪北宋贾宪的《释锁》算书，故此，“杨辉三角”又被称为“贾宪三角”.约1050年，贾宪首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算.

二项式定理就是的展开式对应的公式，对于时，；；那对于一般的正整数，怎么求它展开式的一般形式?

设计意图：了解问题产生的背景，用熟悉的知识引出要研究的问题，调动学生的积极性，激发学生探索新问题的欲望.

2.探究新知，构建数学

是个多项式相乘，重新回顾多项式乘法的规律特点.

【问题1】：从项的构成分析多项式展开式中项的特点，项数和次数的规律？

学生活动：观察发现展开式中的项是从因式中取一项，再从中取一项相乘得到的，每一项的次数是2.共有项.

设计意图：多项式乘法是展开式运算的基础，特点显明的多项式乘法便于学生更容易发现规律，认清楚多项式乘法中项的结构.

展开式中的项是从两个因式中各取一项相乘得到，又因式中只含取的因式选定后，剩余因式只有选这一种方法,我们以取的个数为分类标准进行讨论：

第一类，0个因式取,即两个因式都取相乘得；

第二类,一个因式取,另一个因式取.相乘得到两个同类项；

第三类，两个因式都取,相乘得，

合并同类项得

【问题2】：结合多项式乘法过程及计数原理，利用组合数知识解释的系数为什么是2吗？

追问1：这里要完成的“一件事情”是什么？

要完成的事情是得到展开式的项.

追问2：如何完成？有多少种方法？

学生活动：根据多项式乘法法则，完成这件事可以分两步，先从两个因式中选一个因式取, 有种情况，再从剩余的一个因式取,只有一种取法，所以共有种方法得到，数也就是.

追问3：你能用组合数表示展开式各项系数，并写出展开式吗?

设计意图：通过问题串的方法，引导学生从计数原理方向思考展开式中项的系数，并感受分析问题的渐进性，培养学生的数学思维.

【问题3】：尝试仿照上述过程，利用计数原理写出，的展开式.

设计意图：使学生熟悉用组合数分析展开式中项的系数的一般步骤，强化思维的统一性.为分析二项式定理展开式项的系数做准备.

3．形成定理

【问题4】：观察归纳时二项式展开式的项数、次数、项的结构及系数，猜想并证明展开式？

师生活动：归纳猜想,项数为，次数，项构成为.系数为.
 

证明如下：

对于每一个,对应的项是个因式取,再从剩余的因式取,相乘得到;同类项的个数为；

所以

设计意图：使利用问题教学，使学生在自主探究和合作交流的基础上，帮助学生从特殊到一般，具体到抽象，通过类比、归纳、猜想、证明，建构二项式定理的知识体系.

4.应用新知，巩固练习

例1：求的展开式.

例2 求的展开式的第4项的系数.

思考：的展开式的第4项的二项式系数是多少？

设计意图：培养学生的数学运算能力和思辨能力，提升应用定理解决问题的能力.

5．本节小结

从本节课学习到的数学知识、数学思想、数学方法三个层面进行开放式小结.

6．作业布置

为进一步巩固深化本节课的知识，布置一定的作业，促使学生从其他角度理解二项式定理

（1）能否用数学归纳法证明二项式定理？

（2）查阅资料，了解应用二项式定理开高次方的一般步骤.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）：[M].北京:人民教育出版社，2020.

[2] 章建跃.通过计数原理感悟运算真谛利用排列组合提升思维品质[J].数学通报，2021（11）：6-13.