运用几何直观  促进深度思维

运用几何直观  促进深度思维

方婷

江苏省常州市新北区西夏墅中心小学

几何直观是小学数学非常重要的核心概念之一。《义务教育数学课程标准（2011版）》首次在义务教育阶段数学课程中针对“几何直观”提出了明确的要求，《义务教育数学课程标准（2022版）》不仅保留了“几何直观”这一核心概念，同时对“几何直观”的要求更加细化，即能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型；利用图标分析实际情境与数学问题，探究解决问题的思路。但在实际教学中，不少教师对几何直观缺乏认识，学生几何直观能力非常薄弱，不能很好地落实“发展学生几何直观”地要求。那么，在教学中，如何发展几何直观，培养他们用数学的思维思考现实世界呢？

一、概念形成上：运用几何直观促深度建构

数学概念包括数、形、性质等内容，对学生来说，它是比较抽象，难以理解的。如何让学生轻松愉悦地学习数学概念，理解数学概念，最后能灵活运用？这就需要教师不断思索，寻找合适地几何直观作为教学的切入点，让学生通过动手操作，动脑观察，引爆思维核，从而建立新的概念内涵，让学习走向深度、深刻。

例如：教学三下《认识小数》，教师提问：“同学们，对于小数，大家都不陌生，结合生活实际举几个小数的例子吧。”教师相机出示0.3米和0.3元，并追问：“0.3米表示3分米，0.3元表示3角，为什么表示的数量不同，却都可以用同一个小数0.3来表示呢？

出示活动要求：①你能不能用一条线段或一个正方形把0.3米或0.3元的意思表示出来吗？②在画的过程中想一想，有什么相同的地方？呈现学生作品（图1）：

                              图1

让学生介绍每个作品的意思，生①：用一条线段表示1元，把1元平均分成10份，取出其中的3份就是0.3元。生②……教师提问：画得图形不一样，为什么都可以用0.3表示？学生在交流中理解：都是平均分成了10份，其中的3份就是0.3。教师追问：这个正方形可以表示1元、1米，还可以表示什么？生回答：1吨，1千克，1千米……

学生通过展开对“为什么表示的数量不同，却都可以用同一个小数0.3来表示呢？”这一问题的反思和探究，结合几何直观，将思考过程和思考结果进行可视化呈现，经历了从数量到数的抽象过程，理解了小数的本质意义。

二、算理理解上：运用几何直观促深度思考

几何直观是数学计算教学中必不可少的工具。课标中提出，计算教学的目标之一是让学生理解算理，掌握算法。从宏观上看，学生借助直观操作和观察，让算理更加具体形象，为学生的计算提供具体的支撑，并不断积累计算的感性经验。从微观上看，其核心是在培养学生的直观推断能力，把计算的思维过程借助操作和画图可视化。低年级阶段，可以借助小棒、圆片等学具，摆一摆，明晰加减法的算理；高年级阶段，可以借助点子图、图形等工具，圈一圈、画一画，掌握乘除法的算理。在理解算理的基础上，促进学生运算能力和数学核心素养的形成。

例如：在计算“9+4”时，学生通过具体的动手操作，来理解这道题的计算过程：把加数4分成1和3，1和9凑成10，10再加3等于13。这个有序的计算过程主要依靠摆小棒来完成（见图2），摆的过程就是算理的直观体现，不断地摆，不断地积累“凑十”的过程，以形成自动化意识。这里的动手操作就是让学生借助操作直观，加深对9加几算理的理解。

再如：教学六年级上册《整数除以分数》，教师出示问题：4米长的彩带，每米剪一段，可以剪成多少段，学生根据数量关系，列出算式：4÷，“4÷的商是多少？你会计算吗？当老师提出这个问题，学生们都有些不止所措，这是老师适时提醒：“我们可以借助线段图帮助解决，”学生动手画线段图，动手分一分，呈现了图3的过程。借助线段图，交流明确：4米里面有6个米，通过线段图这一直观图，理解了整数除以分数的算理。

                 图3

三、问题解决上：运用几何直观促深度清晰

   发现问题、提出问题、分析问题、解决问题是新课标强调的“四能”要求。找准数量关系是解决数学问题的关键。但小学阶段的学生逻辑思维能力、抽象思维能力还比较欠缺，面对复杂多变的问题，不能很快的找到数量关系。教学过程中，教师可以借助几何直观帮助学生理解题意，分析数量关系，实现抽象问题向具体形象转化，促进对数量关系的理解和把握。

例如，苏教版六年级教材中有这样一道题：“小军有28颗玻璃球，小力的玻璃球比小军多，小力的玻璃球有多少颗？”这道题从文字上理解对学生来说比较困难，因为小军玻璃球的颗数与小力玻璃球的颗数这两个量不是部分与整体的关系，学生对问题中谁是单位“1”不理解。教学过程中可以抓住“小力的玻璃球比小军多”这个关键信息，通过线段图这一直观图形帮助学生理清两个量之间的关系：把小军玻璃球的颗数看成单位“1”，平均分成7份，小力的玻璃球数量要多这样的2份（见图4）。这样直观的呈现方式，让学生一下清晰地理清两个量之间的关系，拓宽了解决问题的思路，学生解决时就可以用多少方法解决。

图4

四、规律探究上：运用几何直观促深度转化

    运用几何直观是学生解决问题一种非常重要的能力和方法，可以使复杂的问题简单化、抽象问题直观化。实际教学中，解决探究规律的题型，教师除了要保证给学生探究的空间和时间外，更为重要的是应充分展示学生发现规律的思维过程，利用几何直观让思维外显，利用几何直观让表达与交流更充分，让学生借助几何直观来发现规律，培养学生思维的灵活性和敏捷性。

     例如，计算，可以借助数的几何意义画出方块图（见图5），从而很容易发现其中的规律，得到结果为。计算1+3+5+7……+199=？让学生从1+3=？这样的简单算式入手，并结合摆小正方形的直观图，发现算式与图形之间的联系，从而得到规律：从1开始，几个连续奇数相加的和就是几的平方。

    再如，三年级上册《一一间隔排列》，当学生初步认识了一一间隔排列的现象后，可以让学生用“△⚪”这些不同的图形摆一组间隔排列的组合，学生摆的过程中，就会感受到间隔排列的三种情况：两端同、两端不同、一端同另一端不同，对间隔排列中的规律认识体验更加深入。

   克莱因提出：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上。”几何直观在小学学习的各个阶段都发挥着重要的作用。运用几何直观进行教学，力求在数学教学中让知识内核“看得见”、思维过程“看得清”，理性思维“看得深”，提升师生分析数学现象，解释数学问题的数学思维水平。

本文系常州市教育科学“十四五规划课题《“数与代数”学习领域下小学生几何直观能力培养的实践研究》的研究成果之一