探究绝对值不等式的考点

探究绝对值不等式的考点

冯晓莉

冯晓莉山东省寿光市现代中学262700

不等式既是高中数学的重点和难点，又是继续深造的重要基础，所以不等式一直是高考中的一个热点，在近几年的全国试题中，对不等式考查的占有一定的比例，预计13年高考中选择、填空或解答题都有可能出现，难度一般为中、低档为主。下面对出现的绝对值不等式作简单的探究：

一、求解简单的绝对值不等式的考查

例1.解不等式|x2-9|≤x+3。

分析：含绝对值的不等式，需去绝对值。可按定义去绝对值，也可利用|x|≤a-a≤x≤a去绝对值。本题可用数形结合思想求解。

解法1：原不等式(1)或(2)

不等式(1)x=-3或3≤x≤4；

不等式(2)2≤x<3或3≤x≤4；

所以原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}。

解法2：原不等式等价于

x≥-3

x≤-3或x≥2x=-3或2≤x≤4，∴所以原不等式的

-3≤x≤4

解集为{x|x=-3或2≤x≤4}。

解法3：设y1=|x2-9|，y2=x+3（x≥-3），由|x2-9|=x+3，解得x1=4，x2=-3，x3=2。在同一坐标系下作出y1、y2的图象，从下图中可看出使y1≤y2的x的范围是x=-3或3≤x≤4。∴所以原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}。

二、绝对值的几何意义的考查

例2.若关于x的不等式|x+2|+|x-1|<a的解集为φ，则a的取值范围是______。

分析：本题可利用零点分段讨论法，求函数f（x）=|x+2|+|x-1|的值域D，也可利用绝对值的几何意义，求函数f（x）的值域，若解集为φ，则aD。

解法1：当x≤-2时，f(x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1≥3；

当-2<x<1时，f(x)=|x+2|+|x-1|=3；

当x>1时，f(x)=|x+2|+|x-1|=2x+1≥3；

所以函数f(x)的值域为{y|y≥3}。

若不等式的解集为φ，则a的取值范围是a<3。

解法2：由绝对值的几何意义，|x+2|表示数轴上到-2点的距离，|x-1|表示数轴上到点1的距离（如下图所示），则|x+2|+|x-1|≥3。若不等式的解集为φ，则a的取值范围是a<3。

三、绝对值不等式应用的考查

例3.已知适合不等式|x2-4x+p|+3-x≤5的x的最大值是3，求p的值。

分析：给出x的最大值，可使不等式化简，转化成含一个绝对值的不等式。

解析：有x的最大值为3，则x≤3，∴x-3≤0，|x-3|=3-x，原不等式化为|x2-4x+p|+3-x≤5。

(1)若|x2-4x+p|=-x2+4x-p，则-x2+4x+p+3-x≤5，

∴x2-3x+p+2≥0，此时不可能有解为x≤3。

(2)若|x2-4x+p|=x2-4x+p，则x2-4x+p+3-x≤5，

∴x2-5x+p-2≤0……（1），由题意可设c≤x≤3，即(x-c)(x-3)≤0；

x2-(3-c)x+3≤0……(2)。

比较(1)、(2)可得c=2，p=8；∴p=8。

点评：可通过本题培养学生分析问题和解决问题的能力。

四、绝对值不等式的综合应用

例4.若a，b∈R，且|a|+|b|<1，证明方程x2+ax+b=0的两个实根的绝对值小于1。

分析：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及含有绝对值的不等式的性质定理。

解析：设方程x2+ax+b=0的两根为x1、x2。

由一元二次方程韦达定理得：x1+x2=-a，x1·x2=b，即a=-（x1+x2），b=x1·x2。

由于|a|+|b|<1，∴|x1+x2|+|x1·x2|<1，∴|x1+x2|<1-|x1·x2|。

由绝对值不等式的性质得：|x1|+|x2|≤|x1+x2|<|x1·x2|，

则有|x1|-|x2|<1-|x1·x2|，

移项因式分解得：|x1|(1+|x2|)-|x2|-1<0(1+|x2|)(|x1|-1)<0；

∴1+|x2|>0，∴|x1|-1<0，即|x1|<1。

同理可证|x2|<1。故若a、b∈R且|a|+|b|<1，则方程x2+ax+b=0的两个实根的绝对值小于1。