例说算法初步中的知识交汇

例说算法初步中的知识交汇

邓益阳

邓益阳（13037467818）湖南省永州市第七中学（425006）（永州工作站朱壮平推荐）

内容摘要：

随着新课程改革的逐步推进，我国现行高考更注重对学生能力的考查。算法作为高中新课程新增内容，因其所涉及知识的丰富性，备受各高考数学命题专家的关注。本文结合近几年全国高考试题及各地模拟试题，通过具体例题浅谈了算法与整除、方程、不等式、函数、数列、三角、统计、概率等内容的知识交汇。

关键词：新课程算法程序框图阅读理解逻辑推理能力

随着新课程改革的逐步推进，我国现行高考更注重对学生能力的考查。算法作为高中新课程新增内容，因其所涉及知识的丰富性和考查学生阅读理解能力的独特性及考查学生数学思维能力的有效性，在高考中更能体现“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度”这一高考命题原则，因而备受各数学命题专家的关注。下面，笔者结合近几年全国高考试题及各地模拟试题，通过具体的例题浅谈算法与整除、方程、不等式、函数、数列、三角、统计、概率等内容的知识交汇，旨在探索算法题型规律，揭示算法解题方法。

一、算法与整除的交汇

例1、（2010浙江温州）阅读如图1

所示的程序框图，若输入m=4,n=6,则输出的a、i分别等于（）

A、12，2B、12，3

C、12，4D、24，4

解析：要结束程序运算，必须通过n整除a的条件，而同时m也整除a,那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，此时i=3，故选B。

评注：本题考查整除知识、对算法流程图的理解及分析问题的能力。

二、算法与方程的交汇

例2、（2010广东广州）如图2是表示求解方程x2—（a+1）x+a=0（aR且a是常数）过程的程序框图，请在标有序号（1）（2）（3）（4）处填上你认为合适的内容将程序框图补充完整。

（1）______（2）______

（3）______（4）______

解析：从程序框图易知，所解方程是一元二次方程，先计算判别式：△=（a+1）2—4a=(a—1)2，故：（1）处应填（a—1）2；算了判别式的大小后，再判断其符号，由于△=(a—1)2，则只需判断a是否等于1即可。则在（2）处有两种填法，即a=1或a≠1。

当（2）处填a=1时，（3）处填x1=x2=1，（4）处填x1=a，x2=1；

当（2）处填a≠1时，（3）处填x1=a，x2=1，（4）处填x1=x2=1。

评注：本题主要考查算法流程图，解一元二次方程等基础知识，答案不唯一，从而也考查了学生的发散思维能力。

三、算法与不等式的交汇

例3、（2008宁夏、海南5）如图3所示的程序框图，如果输入三个实数a,b,c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）

A、c>xB、x>cC、c>bD、b>c

解析：由流程图可知，第一个判断框比较了x与b的大小，则第二个判断框应该比较x与c的大小，故选A。

评注：本题将算法与不等式有机融合，融交换算法求最大值与实数大小比较于一体，既考查了阅读能力、数学语言转化能力，又考查了分析问题和解决问题的能力。

四、算法与函数的交汇

例4、（2009上海4）某算法的程序框图如图4所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是_______。

解析：由程序框图的条件结构知：

评注：本题将算法与函数有机融合，通过此题考查考生读懂算法流程图的能力和对分段函数的理解。

五、算法与数列的交汇

例5、（2007山东10）阅读如图5的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）

A、2500，2500B、2550，2550

C、2500，2550D、2550，2500

解析：第1次循环后，S=100，T=99；第2次循环后，S=100+98，T=99+97由此类推，第50次循环后，S=100+98+…+2=2550T=99+97+…+1=2500

评注：本题将算法与数列有机融合，主要考查了算法流程图、等差数列求和等基础知识以及数据处理能力、语言转换能力和算法思想。

六、算法与三角的交汇

例6、（2008山东潍坊）如图6所示的程序框图，若f0(x)=sinx,则输出的结果是_______。

解析：由fi(x)=fi—1，（x）得：f0(x)=sinx，f1(x)=f0，（x）=cosx，f2(x)=f1，（x）=—sinx，f3(x)=f2，（x）=—cosx，f4(x)=f3，（x）=sinx，

由此类推

显然fi(x)的值是以4为周期进行循环的，则f2008(x)=f0(x)=sinx，故输出的结果是sinx.

评注：本题用算法实现循环求导的过程，考查了三角函数的周期性及求导，同时也考查了学生从特殊到一般的数学思想。

七、算法与统计的交汇

例7、（2007广东6）图7—1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生数），图7—2是统计图7—1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160—180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）

A、i<9?B、i<8?

C、i<7?D、i<6?

解析：身高在160cm—180cm的学生人数S=A4+A5+A6+A7，判断框内需填写循环的终止条件,下标i为循环变量，4为i的初始值，7为i的终止值，执行4次循环即可得到所需结果，得终止条件为i<8,故选C。

评注：本题将算法与频率分布直方图进行了有机融合，要求学生根据频率分布直方图所给的信息，完善程序框图的限制条件，体现了考查学生识图和数据处理的能力要求。

八、算法与概率的交汇

例8、（2009广东东莞）图8所示的程序框图可用来估计的值（假设函数CONRND(—1，1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间（—1，1）内的任何一个实数），如果输入1000，输出的结果为788，则由此可估计的近似值为（保留四位有效数字）

解析：根据程序框图知，如果点在圆x2+y21区域内，m就相加一次；现在N输入1000，m起始值为0。输出的结果为788，说明m相加了788次，也就是说有788个点在圆x2+y2=1内，设圆x2+y2=1的面积为S1，以原点为中心的正方形的面积为S2，故概率：

评注：本题立意和情境新颖，融几何概型、算法于一体，体现了算法思想和概率的应用价值，通过本题能够考查基础知识和逻辑分析能力，又可培养我们应用数学的意识。

参考文献：

1、《3年高考2年模拟》（2011年湖南省专用）首都师范大学出版社

2、徐加华《高考算法初步考查方式的研究》《中学数学研究》2008.11