立体几何外接球模型探讨

立体几何外接球模型探讨

梁高峰

山西省平定一中 045200

纵观近几年的高考，外接球问题是考察的一个热点，此类题通过空间图形以及图形与数量关系的分析，看学生能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解题的思路，并能用准确，严谨的数学语言表述论证过程以此次考察直观想象，逻辑推理和数学运算三大核心素养。学生在学习过程中，对外接球相关问题的求解总是感觉力不从心，特别是直观想象，如何有效解决这种现状？对于多面体外接球的相关问题关键是抓住几何体的特征，确定外接球球心位置和求出外接球的半径，特别是球心的确定.以下通过对外接球模型归纳类比化归，来得出解决方法。

知识准备：

1. 大圆中的直角三角形的斜边经过球心。

2. 小圆中的直角三角形的斜边经过小圆圆心，不经过球心

3. 球心和小圆圆心的连线垂直于小圆面。

4. 连接球心与小圆圆心的线段，球半径，小圆半径构成直角三角形(图1）

一 柱体

1 与圆柱有关的外接球问题

已知圆柱的高为h,它的两个底面的圆周在半径为r的同一个球的球面上,则该圆柱的外接球半径为 （图2）

2 与正方体与长方体有关的外接球问题

2.1 直接考查正方体长方体外接球

正方体外接球的直径等于正方体的体对角线，球心o为体对角线的中点，设棱长为 ，则外接球半径 （图3）

长方体外接球的直径等于长方体体对角线，球心o为体对角线的中点，设长方体的长，宽，高分别为 ，则外接球的半径 （图4）

2.2可以补成正方体或长方体的外接球问题

例1 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积？

分析：依据球体和几何体的对称性，所有棱长都相等为正四面体可补成正方体，棱为正方体面对角线（如图5）

_{解析：由已知可求得正方体的棱长为1体对角线长为} ，从而外接球的直径也为 ，所以此球的表面积为

例2 三棱锥A-BCD中， , , ,则三棱锥 外接球的表面积？

分析：依据球体和几何体的对称性，对棱相等的棱锥可补成长方体，棱为长方体的面对角线（如图6）

解析：设长方体的长宽高分别设为 ，则

，得 ，所以外接圆半径 ，

所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为

例3 在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,其外接球的半径为2,设三棱锥P-ABC的侧面积为S,则S的最大值为　　　　. 

依据球体和几何体的对称性，三条侧棱两两互相垂直的三棱锥，可以补成长方体，长方体体对角线为外接球的直径(图7）

解析：设PA,PB,PC分别为a,b,c,因为三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直,所以把三棱锥扩展为长方体,该长方体也外接于球,其体对角线的长为球的直径,所以a²+b²+c²=16,S= (ab+bc+ac)≤ (a²+b²+c²)=8.

3与直棱柱有关的外接球问题

3.1直接考查直棱柱外接球有关的问题

直棱柱的外接球，其球心是上下两底面外心连线的中点处，由球心、底面外心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径 (h为侧棱高，r为底面外接圆半径，一般用三角形正弦定理可求得）

例4 直三棱柱 所有点均在同一球面上，若 ， ，求外接球表面积.（图8）

分析： 外接圆的圆心为点 , 外接圆的圆心为点 ,球心 为线段 的中点，, 与顶点 构成直角三角形，根据勾股定理就算得外接球半径.

解析：由已知可得 外接圆的半径_{，,则外接球的球半径,所以外接球的表面积为.}

3.2可以补成直棱柱的外接球有关的问题

例5 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，且 ,若 , ,则球 的表面积？

分析：依据对称性有一条侧棱垂直于底面的棱锥可以补成直棱柱，此时就可按直棱柱球确定球心O的位置的方法，构造直角三角形计算.（图9）

解析：由已知可得外接圆半径，,所以外接球半径,外接球表面积为.

例6 已知三棱锥 中， , ,

,求该三棱锥外接球的体积.

方法一：符合前一例题的要求，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，可补成直棱柱解决，(如图10)

方法二：由已知可得也为直角三角形，与直角三角形有公共的斜边,球心为该斜边的中点。所以对于三棱锥体有两个共斜边的直角三角形，所求外接球球心为该斜边中点；

二 椎体

1与圆锥有关的外接球问题

已知圆锥的底面半径为r，高为h，则该圆锥的外接球的半径为

圆锥外接球球心在其高所在的直线上 ，具体位置可通过(球心在几何体内）或（球心在几何体外）确定.（图11）

2与棱锥外接球有关的问题

高考考查一般以正棱锥为载体，其外接球球心在其高所在的直线上 ，具体位置同样可通过(球心在几何体内）或（球心在几何体外）确定.

例7已知正三棱锥P-ABC的顶点都在同一球面上，且该棱锥底面边长为3，侧棱长为 则该球的表面积？

解析：由已知可求得三角形ABC外接圆半径

， ,在直角三角形 中可得R=2，所以外接球表面积为 。

正四面体如例1也可以用上述方法确定球心，那么对于怎样的棱锥可以用上述方法确定球心，计算球半径？

不管球心在棱锥的内部还是外部，关键点在于球心在高所在的直线上，那么只要三棱锥顶点在底面的射影为底面三角形的外心即可。（如图13，图14）

3对于任意的三棱锥如何确定外接球的球心O的位置？

对于一般的三棱锥，无法放入特殊的柱体中，所以需依据外接球的定义来确定外接球球心O的位置.先找出 外接圆圆心的位置 ，过 做平面ABC的垂线 ，外接球球心O在垂线 上，同理做出 外接圆圆心 ，过 做平面DAB的垂线 ，外接球球心O在垂线 上，所以 与 的交点为外接球球心O，

例8在三棱锥P-ABC中，_，，

_，则三棱锥P-ABC外接球的表面积?

_{分析：依据外接球的定义过} 外心 做平面ABC的垂线 ，过 外心 做平面PAB的垂线 与 的交点为外接球球心O，此题因为_{，所以四边形为矩形。}

_解析：在 中， ，所以 为正三角形，,取AB中点H, 连接 , ,则

在_中，，,在由余弦定理可得 ,得 ，再由正弦定理 ,则 外接圆半径 ,

直角三角形 中，外接球半径R= ,所以外接球表面积为 .

柱体中直棱柱和能补成直棱柱的棱锥，都可以归结为圆柱柱体模型，用公式 去解决，对于正方体、长方体和能放入正方体和长方体的棱锥可以直接找体对角线中点确定球心，由体对角线长度确定球半径，其实它是特殊的直棱柱，也可以化归为直棱柱模型构造直角三角形求得。

在椎体中顶点在底面的射影为底面的外心时可以归结为圆锥体模型用 公式求解。

一般的三棱锥回归本质，用外接球的定义和性质求解。