博尔达计分法，孔多塞一致性和孔多塞稳定性

博尔达计分法，孔多塞一致性和孔多塞稳定性

范朋希

上海师范大学 上海徐汇区桂林路100号，200234

概要：“众所周知，博尔达计分法是最不容易受孔多塞非一致性影响的评分规则。”---萨里(2000年)。当使用博尔达计分法而没有选出孔多塞赢家（少数服从多数原则下，优于其它任何候选项的那个）时，这种非一致性就出现了。本文揭露了博尔达计分法与孔多塞-多数原则，以及与孔多塞-多数投票原则之间的关系。主要的结论证实了当时，博尔达计分法与孔多塞-多数一致，其中是候选项的个数。 第二个结论证实了在真诚投票中，是多数决断的最小程度，它符合博尔达计分法。此外，需要同样的多数以确保运用博尔达计分法时的决断，还要确保-规则(广义的-多数孔多塞规则) 是投票规则。

关键词和短语：博尔达计分法，-规则，孔多塞一致性，孔多塞稳定性，多数决断

1介绍

在本文中，我们关注广泛使用的特殊多数-规则以及博尔达(1781年)的计数方法。我们并不会将任何结构强加于群体所面对的候选项所构成的有限集合，并且假设这个群体包含着有限的个体，他们会真诚汇报自己的线性偏好。在-规则下，选择函数受到了用于解决社会选择问题的孔多塞（1785年）方法的启发，后者规定在所有可能的偏好配置中必须存在一个-规则赢家。在-多数下，这个赢家没有被其他任何候选项“击败”。众所周知，就少数服从多数原则而言，这时，“虽然博尔达计分法并不与孔多塞一致，但它是最不容易受孔多塞非一致性影响的评分规则”---萨里（2000年）。这种非一致性意味着当博尔达计分法没有选出孔多塞赢家（少数服从多数原则下，优于其它任何候选项的那个）时，偏好配置就会存在。我们的第一个目标就是证明，当时，博尔达计分法与孔多塞一致。

-规则的问题在于它们不需要是投票规则，也就是说它们并不能确保孔多塞-规则赢家在任何偏好配置中都存在。我们的第二个目标是证明在博尔达计分法中确保决断的最小多数正是能确保决断的多数，更重要的是，这个多数可以确保-规则的稳定性，即说明了-规则是投票规则。

2设置

设表示由选民构成的有限集合，是由个不同候选项构成的有限集合，其中。个体偏好关系定义于上，并被假定为是严格的（不允许无差异）。同时假设个体的偏好关系是对的严格的线性顺序（完全、传递和不对称关系）。这些顺序的集合记为。偏好配置是一个元组的线性顺序，记这个偏好配置为。社会选择规则是从映射到的非空子集的集合，这个规则具体说明了任何偏好配置的集体选择。在这项研究中，我们关注了投票规则，它通常被称为特殊多数规则或是-规则，还关注了博尔达严格计分规则。

设是实数的严格单调序列，。个选民中每一个都对候选项进行了排名，将点分配到排名最后的那个，将点分配到排名倒数第二的那个，以此类推。在严格的评分规则中，总分最大的候选人被选出。博尔达计分法是一个严格的评分规则，其中。

设.根据特殊-多数规则，被选出的候选项不会在[1]中的任何其它候选项之间被-多数击败。

3孔多塞一致性

对在-规则下选出的候选项，给定的偏好配置被称为对于的孔多塞-多数赢家。如果每一个配置中都有一个孔多塞-多数赢家，那么-多数就是一个投票规则。即使-规则不是投票规则，在许多偏好配置下它都可能有一个孔多塞-多数赢家。当时，没有评分规则与孔多塞一致，包括博尔达计分法。然而，正如萨里（2000年）所说，后一种规则在所有评分规则中最不容易受孔多塞非一致性影响。以下的结论证实了当时，博尔达计分法完全不受孔多塞非一致性影响。

定理1.如果,那么在偏好配置下，博尔达计分法就会选出孔多塞-多数赢家。

证明. 假设在偏好配置下，候选项是孔多塞赢家。这意味着与任何其它候选项相比，受到个选民的偏好。在博尔达计分法中，-多数分配给候选项和之间的总分最小差距即。-少数分配给候选项和之间的总分最大差距即。当是少数群体成员中最受偏好的候选项，同时是最不受偏好的候选项时，就得到了最大差异。因此，，这说明博尔达计分法选出了候选项。当是孔多塞-赢家时，也可以得出相同的结论，其中。

请注意在偏好配置中，博尔达计分法选出的候选项不需要是唯一的，也不需要是孔多塞-多数赢家，其中。

4多数决断

现在看真诚投票[2]，多数联合如果总是可以强加其意愿（它最想要的选项），即确保在任何偏好配置下都可以选择共识 ，那么它就被称为是有决断力的。也就是说，给定一个投票规则后，如果在每一个偏好配置中候选项都是-多数共识，那么就称选民联合是有决断力的，即。请注意，有决断力的联合可以强加其意愿，而不需要通过投票操纵，也不需要了解偏好或是以外选民的投票。-多数决断力意味着存在联合, 满足是有决断力的。取决于选民应用的投票规则的最小大小被称为决断的最小程度。

下列结论证实了：与博尔达计分法一致的决断的最小程度等于[3]。

定理2. 在博尔达计分法中，如果那么任何特殊的-多数规则都是有决断力的。

证明假设有一个偏好配置，

-多数联合[4]，中所有成员都有相同的偏好，他们都喜欢最好的（最受到偏好的）候选项，而且都喜欢第二好的候选项。同时，假设在这个配置中少数选民最好的候选项是，排名最低的（最不受偏好的候选项）是。请注意，在博尔达计分法中，如果多数共识候选项在当前配置中被选出了，那么就会在其它任何配置中被选出，当前配置是指多数共识从少数群体处得到了最少支持，且挑战者 从多数与少数群体联合成员处都得到了最大支持。根据定义，如果在假定的配置下，候选项的总分大于或等于的总分，那么-多数决断就存在。也就是说，确保了博尔达计分法下-多数决断的条件是：

或是，因且，

$

由此得证。

根据定义，如果-多数规则是投票规则的话，那么特殊-多数规则就容易受到-多数专横的影响。-多数成为投票规则[5]的充分必要条件是 (格林伯格, 1979)。事实上，这个条件确保了在成对投票中不会存在循环，这一点被尤希斯金 (1964)[6]所证实。因此，与博尔达计分法相符的决断最小程度就等于最小多数。而又被用来确保决断力，更重要的是，还确保不存在投票循环或是-规则的稳定性，也就是说，它是投票规则。

参考文献：

[1]布莱克，邓肯（1958），《委员会与选举理论》，剑桥，英国：大学出版社。

[2]詹姆斯·布坎南（1968），《公共品的需求与供给》，芝加哥：兰德·麦克纳利。

[3]很好，I.J.（1965），《思考第一台超级智能机器》/5计算机进展6:31-88。

[4]麦卡洛赫，沃伦（1945），《由神经网络拓扑决定的值的异质性》，《数学生物物理学公报》7:89-93。

[5]约翰·威利和他的儿子，《统计学基础》，纽约

[6]塔洛克·戈登（1964），《不可转让性的非理性》，5，牛津经济论文16，第3期：401-406。

安娜堡《走向政治数学》密歇根大学出版社。

[1] 有时候这类规则被称为超多数或有效多数规则。

[2] 根据奥斯汀-史密斯和班克斯（1999年）的关于-规则稳定性的文献，真诚投票是一个常见的假设。这解释了我们将它作为基准使用的原因。

[3] 根据巴哈拉德和尼赞（2002年），这个结论通过定理1得到了证明。为了保持完整，我们呈现出了其证明。当允许使用协调策略投票时，与博尔达计分法相符的决断力最小程度等于,巴哈拉德和尼赞（2002）通过定理2证明了这点。

[4] 为了简化证明并不失普遍性，我们选择，满足是一个整数。

[5]-多数规则是投票规则的条件有时被称为-规则选择函数存在的条件，特殊-多数规则下投票均衡的存在条件，或是在-多数投票博弈中有非空中心的存在条件。

[6] 我们很感激一位不愿透露姓名的裁判，使我们注意到这一较早的重要结果的存在。