探究基于重尾条件下破产概率的估计

探究基于重尾条件下破产概率的估计

郭红财

安徽扬子职业技术学院 241080

摘要：风险理论是应用概率理论的重要分支之一,是金融保险中的一个重要理论,有着重要的理论研究价值和意义.由于大额索赔风险对保险公司经营会产生巨大的影响,所以巨灾风险理论越来越受到关注.在数学上,能够描述此种风险的是一类服从重尾分布的随机变量,所以有关重尾分布的模型日益引起人们的重视.本文给出了常见的重尾分布子族定义及其性质,主要研究了如何应用重尾随机变量的性质解决保险公司的破产概率问题.着重分析了利率收益,投资风险等相关经济和金融因素对保险估计赔付风险的影响,对于如何应对风险有非常强的实际指导意义.

关键词： 重尾分布；可压缩性；破产概率

概率图模型是图论与概率论相结合的新兴学科，图模型能够用图的方式清晰主观的展现一个问题的影响因素及变量之间的关系，近些年图模型被越来越多应用于复杂的系统研究中，并广泛地应用于机器学习、因果推断、人工智能等领域。可压缩性方法是图模型中的一个重要方法，通过对原图模型进行压缩，可以在较小的模型中进行分析和估计，能够提高估计的精度，降低影响因素。消除算法是可压缩算法的一种。它通过消除一些影响变量，降低图模型的维度，是本文重点关注的。
1、基本概念
  本节给出一些基本概念作为预备知识，用到的其他术语及符号。对于和两个随机变量，以及的他们联合概率分布.我们得到其中的一个变量,我们想要推断出剩下的全部变量.为此,我们计算条件概率分布,用它来获得的估计.因此我们设计了一种误差估计:
                        
  我们可以从第二个等号可以看出来，要减少这个误差概率，其实就是一个就是一个最大化的问题，我们将其称为最大后验问题(MAP)
  其中的计算问题对于所有给定条件b,我们称为边际问题(MARG),当随机变量增加时，计算一个边际问题将变得非常困难，因为这涉及到一个指数的组合计算，对于最大后验问题，范诺不等式提供给我们一个信息理论去获得关于a的信息
其中

   
  虽然这些问题计算起来都十分困难。但我们可以设计一些有效算法来解决这些问题。

2、图模型的消除算法
  最大后验问题和边际问题通过上面的描述可以得知：当变量的大小、数量变得复杂的话，那么我们要解决的问题也会变得棘手。但当处理图模型们,人们可以利用特定结构的图模型来减少必须考虑的变量的数目。直观地说,图模型中变量的连接越少,这个问题的复杂程度就会越小。我们将正式通过引入消除算法,在一个给定的图模型中，这是一种系统化的方法来减少变量复杂性的方法。

我们下图中看到的图模型是不完全连接的，每一个彩色的部分是一个极大团。

  消除这种过程，计算边际价值所需的步骤是，而并非，通过图模型的结构，我们可以大大降低问题的复杂性，相同地我们可以做出最大后验问题消除过程：

3、处理“重尾”分布的常用统计分布如下

3.1 t分布

一般见到的文献中提及的是中信t分布，对应的还有非中心t分布，它的不足在于缺乏正态分布的良好特性，如次级可加、不想管、统计独立等，所以在金融中应用有限，但是它也不失为一种模拟市场的一种好的统计分布。

3.2混合正态分布

指的是金融资产的日价变化呈现一种不相关、堆成且服从一种相对尖峰厚尾的近似正态分布。该分布的混合变量往往假定为时信息流。新信息进入市场对市场产生冲击，进而推动市价和交易量的波动。该分布假定变量是由具有不同均值和方差的正态分布混合而成，最常用的是有两个正态分布混合而成的模型。这种方法是金融信息统计分析的重要方法。它允许以更大的概率产生相对于标准正态分布的更大的收益率。

3.3广义误差分布GED

是JPMorgan的RiskMetrics提出的。GED分布在金融市场上的主要应用见于基于GARCH模型下的VaR方法，对股票市场的研究。更好的揭示了收益率的厚尾和股市的杠杆效应。

3.4Logistic分布 又称为双曲正割平方分布

事实上这种分布是一种特殊的极值分布。相对于GED，其应用较少。以上四种分布在形式上有所差异，但实际上都是对收益率分布的不同描述，他们都很好的刻画了厚尾它正，但在研究中各个方法分说不一。主要应用的是GARCH下的GED方法；Logistic一般和历史模拟法共同使用；t分布应用较少。

参考文献

[1]王岳宝，成风炀．关于重尾分布间的控制关系及其应用[J]应用概率统计， 2015（１）

[2]苏淳， 胡治水， 唐启鹤． 关于非负分布重尾程度的刻画口[J] 数学进展， 2016（５）

[3]李志阐，郑元禄译．概率论及其应用（第二卷））[J]科学出版社，2019

课题:基于重尾条件下破产概率的研究（KJ2016A318)